高等数学张宇18讲 第二讲 极限与连续

  本讲主要介绍了极限与连续的相关计算。

例题二

例2.5 已知$I=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\ln (1+e^{\frac{2}{x}})}{\ln (1+e^{\frac{1}{x}})}+a[x]\right)$存在，$[\cdot ]$为取整函数，求$I,a$。

解
$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(\frac{\ln (1+e^{\frac{2}{x}})}{\ln (1+e^{\frac{1}{x}})}+a[x]\right)\stackrel{u=\frac{1}{x}}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2e^{2u}}{1+e^{2u}}}{\frac{e^u}{1+e^u}}=0,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }a[x]=-a, \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\ln (1+e^{\frac{2}{x}})}{\ln (1+e^{\frac{1}{x}})}+a[x]\right)\stackrel{u=\frac{1}{x}}{=}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2e^{2u}}{1+e^{2u}}}{\frac{e^u}{1+e^u}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2(e^u+e^{2u})}{1+e^{2u}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2(e^{-u}+1)}{1+e^{-2u}}=2,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }a[x]=0. \end{gathered}$$
  当且仅当$a=-2$时，原极限存在，此时$I=2$。（这道题主要利用了换元法求解）

例2.9 求下列极限。

（3）$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}\right);$

解
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{n+i}.$$
  利用定积分的定义，即
$$\text{原式}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{n+i}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^1\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=\ln 2.$$
（这道题主要利用了定积分的定义求解）

（5）$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}.$

解  记$u_n=\frac{2^n}{n!}>0$，则所求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}$可视为正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$的一般项的极限。因$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n+1}=0<1$，由正项级数的比值判别法知$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n!}$收敛，于是$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0$。（这道题主要利用了数列极限求解）

例2.10 求$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}(x⩾0)$的表达式。

解  当$x\in [0,1)$时，$1^n$最大，则
$$\sqrt[n]{1\cdot 1^n}⩽\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽\sqrt[n]{3\cdot 1^n}\text{即}1⩽\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽3^{\frac{1}{3}}.$$
  故当$n\to \infty$时，由夹挤定理定理得：原极限=$1$。
  当$x\in [1,2)$时，$x^n$最大，则
$$\sqrt[n]{1\cdot x^n}⩽\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽\sqrt[n]{3\cdot x^n}\text{即}x⩽\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽3^{\frac{1}{3}}\cdot x.$$
  故当$n\to \infty$时，由夹挤定理定理得：原极限=$x$。
  当$x\in [2,+\infty )$时，${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n$最大，则
$$\sqrt[n]{1\cdot {\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽\sqrt[n]{3\cdot {\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}\text{即}\frac{x^2}{2}⩽\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}⩽3^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{x^2}{2}.$$
  故当$n\to \infty$时，由夹挤定理定理得：原极限=$\frac{x^2}{2}$。
  所以
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=\{\begin{array}{ll}1,& 0⩽x<1,\\ x,& 1⩽x<2,\\ \frac{x^2}{2},& x⩾2.\end{array}$$
（这道题主要利用了夹挤定理求解）

例2.11 设$x_1=2,x_n+(x_n-4)x_{n-1}=3(n=2,3,\cdots )$，试求$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$。

解  先证单调性。由$x_n+(x_n-4)x_{n-1}=3$，得$x_n=\frac{3+4x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$，又$x_1=2$，所以$x_2=\frac{11}{3}>x_1>0$，假设$x_k>x_{k-1}>0$成立，则
$$x_{k+1}-x_k=\frac{3+4x_k}{1+x_k}-\frac{3+4x_{k-1}}{1+x_{k-1}}=\frac{x_k-x_{k-1}}{(1+x_k)(1+x_{k-1})}>0.$$
  故$x_{k+1}>x_k$，即数列 { x n } \{x_n\} {xn​}单调增加。
  再证明其有界。又$x_n=\frac{3+4x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=3+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}<4$，所以 { x n } \{x_n\} {xn​}有上界。
  故$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$存在。设$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$，令$n\to \infty$，由$x_n=\frac{3+4x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$，得$A=\frac{3+4A}{1+A}$，解得$A=\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}$，由题设，$x_n>0$，根据保号性可知$A⩾0$，故$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$。（这道题主要利用了归纳法求解）

例2.13 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}$。

解
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}& \stackrel{\text{令}\frac{1}{x^2}=t}{=}\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{e^{-t}}{t^{-50}}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{t^{5}0}{e^{-t}}\stackrel{\text{洛必达法则}}{=}\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{50t^{49}}{e^t}\\ & \stackrel{\text{洛必达法则}}{=}\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{50\cdot 49t^{48}}{e^t}\stackrel{\text{洛必达法则}}{=}\cdots =\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{50!}{e^t}=0.\end{array}$$
（这道题主要利用了换元法求解）

例2.15 求极限$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$。

解
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}& =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-x-2}{\sqrt{x^2+\sin x}(\sqrt{4x^2+x-1}-x-1)}\stackrel{\text{令}t=-x}{=}\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{3t^2+t-2}{\sqrt{t^2-\sin t}(\sqrt{4t^2-t-1}+t-1)}\\ & =\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}}{\sqrt{1-\frac{\sin t}{t^2}}\left(\sqrt{4-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}+1-\frac{1}{t}\right)}=1.\end{array}$$
（这道题主要利用了换元法求解）

例2.24 求$\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{1}{\ln (1+x^2)}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right]$。

解
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{1}{\ln (1+x^2)}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right]& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x-\ln (1+x^2)}{\ln (1+x^2)\cdot {\sin }^{2}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x-\ln (1+x^2)}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left[x-\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)\right]}^2-\left[x^2-\frac{1}{2}{x}^4+o(x^4)\right]}{x^4}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left[x^2-\frac{2}{3!}{x}^4+o(x^4)\right]}^2-\left[x^2-\frac{1}{2}{x}^4+o(x^4)\right]}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^4+o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{6}.\end{array}$$
（这道题主要利用了泰勒展开式求解）

习题二

2.4 设函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨论函数的间断点，其结论为（  ）
$(A)$不存在间断点
$(B)$存在间断点$x=1$
$(C)$存在间断点$x=0$
$(D)$存在间断点$x=-1$

解  当$|x|<1$时，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{2n}=0$，所以$f(x)=1+x$；当$|x|>1$时，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+x^{2n}}=0$。又$f(1)=0,f(-1)=0$，所以
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+x^{2n}}=\{\begin{array}{ll}0,& x⩽1\\ 1+x,& -1<x<1\\ 1,& x=1\\ 0,& x>1\end{array}$$
  由此可知$x=1$为间断点，故应选$(B)$。 （这道题主要利用了分段函数求解）

新版例题一

例1.9 

（这道题主要利用了换元法求解）

例1.11 

（这道题主要利用了换元法求解）

例1.17 

例1.25 

新版习题一

1.3 

新版例题二

例2.1 

例2.7 

例2.10 

新版习题二

2.4 

写在最后

  如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。
   欢迎非商业转载，转载请注明出处。