第十一章 曲线积分与曲面积分

本章将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形（这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分），并阐明有关这两种积分的一些基本内容。——高等数学同济版

习题11-1 对弧长的曲线积分

  本节主要介绍了对弧长的曲线积分的基本计算。

5.设螺线形弹簧一圈的方程为$x=a\cos t$，$y=a\sin t$，$z=kt$，其中$0⩽t⩽2\pi$，它的线密度$\rho (x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，求：

（2）它的质心。

解  设质心位置为$(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$。
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}M& =\underset{L}{\int }\rho (x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{L}{\int }{x}^2+y^2+z^2\mathrm{d}s\\ & ={\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{3}\pi \sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4{\pi }^2{k}^2),\end{array} \\ \begin{array}{rl}\overline{x}& =\frac{1}{M}\underset{L}{\int }x\rho (x,y,z)\mathrm{d}s=\frac{1}{M}\underset{L}{\int }x(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s\\ & =\frac{1}{M}{\int }_0^{2\pi }a\cos t(a^2+k^2{t}^2)\cdot \sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{a\sqrt{a^2+k^2}}{M}{\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)a\cos t\mathrm{d}t.\end{array} \end{gathered}$$
  由于
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)a\cos t\mathrm{d}t& =[(a^2+k^2{t}^2)\sin t]{|}_0^{2\pi }-{\int }_0^{2\pi }\sin t\cdot 2k^{2}t\mathrm{d}t\\ & =[2k^{2}t\cos t]{|}_0^{2\pi }-{\int }_0^{2\pi }2k^2\cos t\mathrm{d}t=4\pi k^2.\end{array}$$
  因此
$$\overline{x}=\frac{a\sqrt{a^2+k^2}\cdot 4\pi k^2}{\frac{2}{3}\pi \sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4{\pi }^2{k}^2)}=\frac{6a{k}^2}{3a^2+4{\pi }^2{k}^2}.$$
  类似的，
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\overline{y}& =\frac{1}{M}\underset{L}{\int }y(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s=\frac{a\sqrt{a^2+k^2}}{M}{\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)a\sin t\mathrm{d}t\\ & =\frac{a\sqrt{a^2+k^2}\cdot (-4\pi k^2)}{M}=\frac{-6a{k}^2}{3a^2+4{\pi }^2{k}^2}.\end{array} \\ \begin{array}{rl}\overline{z}& =\frac{1}{M}\underset{L}{\int }z(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s=\frac{k\sqrt{a^2+k^2}}{M}{\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)a\sin t\mathrm{d}t\\ & =\frac{k\sqrt{a^2+k^2}\cdot (2a^2{\pi }^2+4\pi k^2)}{M}=\frac{3\pi k(a^2+4k^2{\pi }^4)}{3a^2+4{\pi }^2{k}^2}.\end{array} \end{gathered}$$
（这道题主要利用了参数方程的曲线积分求解）

习题11-2 对坐标的曲线积分

  本节主要介绍了对坐标的曲线积分的计算。

8.设为曲线$x=t$，$y=t^2$，$z=t^3$上相应于$t$从$0$变到$1$的曲线弧。把对坐标的曲线积分$\underset{\Gamma }{\int }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$化成对弧长的曲线积分。

解  $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2t=2x$，$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=3t^2=3y$，注意到参数$t$由小变到大，因此$\Gamma$的切向量的方向余弦为
$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}, \\ \cos \beta =\frac{y^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}}=\frac{2x}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}, \\ \cos \gamma =\frac{z^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}}=\frac{3y}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}, \end{gathered}$$
  从而
$$\underset{\Gamma }{\int }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\underset{\Gamma }{\int }\frac{P+2xQ+3yR}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}\mathrm{d}s.$$
（这道题主要利用曲线积分两种形式之间的转化求解）

习题11-3 格林公式及其应用

  本节主要介绍了格林公式的解法及其应用。

4.确定闭曲线$C$，使曲线积分$$\underset{C}{\oint }\left(x+\frac{y^3}{3}\right)\mathrm{d}x+\left(y+x-\frac{2}{3}{x}^3\right)\mathrm{d}y$$达到最大值。

解  记$D$为$C$所围成的平面有界闭区域，$C$为$D$的正向边界曲线，则由格林公式
$$\underset{C}{\oint }\left(x+\frac{y^3}{3}\right)\mathrm{d}x+\left(y+x-\frac{2}{3}{x}^3\right)\mathrm{d}y=\underset{D}{\iint }[(1-2x^2)-y^2]\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
  要使上式右端的二重积分达到最大值，$D$应包含所有使被积函数$1-2x^2-y^2$大于零的点，而不包含使被积函数小于零的点。因此$D$应为由椭圆$2x^2+y^2=1$所围成的闭区域。这就是说，当$C$为取逆时针方向的椭圆$2x^2+y^2=1$时，所给的曲线积分达到最大值。
（这道题主要利用了格林公式的定义求解）

5.设$n$边形的$n$个顶点按逆时针方向依次为$M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\cdots M_n(x_n,y_n),$。试利用曲线积分证明此边形的面积为$$A=\frac{1}{2}[(x_1{y}_2-x_2{y}_1)+(x_2{y}_3-x_3{y}_2)+\cdots +(x_{n-1}{y}_n-x_n{y}_{n-1})+(x_n{y}_1-x_1{y}_n)].$$

证  $n$边形的正向边界$L$由有向线段$M_1{M}_2,M_2{M}_3,\cdots$