洛谷 P1095 [NOIP2007 普及组 T4]：Hanoi 双塔问题 ← 递归+高精度算法

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1096
https://www.acwing.com/problem/content/434/

【题目描述】
给定 A,B,C 三根足够长的细柱，在 A 柱上放有 2n 个中间有空的圆盘，共有 n 个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的(下图为 n=3 的情形）。

现要将这些圆盘移到 C 柱上，在移动过程中可放在 B 柱上暂存。要求:
每次只能移动一个圆盘；
A、B、C 三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序；
任务：设 An 为 2n 个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的 n，输出 An。

【输入格式】
输入文件为一个正整数 n，表示在 A 柱上放有 2n 个圆盘。

【输出格式】
输出文件仅一行，包含一个正整数，为完成上述任务所需的最少移动次数 An。

【数据范围】
1≤n≤200

【输入样例】
2

【输出样例】
6

【算法分析】
● 设 f[i] 为将 2*i 个圆盘从 A 柱移动到 C 柱的移动次数。则将 2*i 个圆盘从 A 柱移动到 C 柱，需要如下 3 步：
（1）将 2*(i-1) 个圆盘从 A 柱移动到 B 柱，需要移动 f[i-1] 次。
（2）将 2 个圆盘从 A 柱移动到 C 柱，需要移动 2 次。
（3）将 2*(i-1) 个圆盘从 B 柱移动到 C 柱，需要移动 f[i-1] 次。
综上，f[i]=2*f[i-1]+2。初始状态为 f[1]=2。

● 若 n 较小，则 Hanoi 双塔问题代码如下所示：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f(int x){
    if(x==1) return 2;
    return 2*f(x-1)+2;
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    cout<<f(n)<<endl;
    
    return 0;
}

/*
in:2
out:6
*/

但本题中，n 最大达到 200，故需要采用高精度算法。

● 高精度算法
高精度加法：https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/109126807
高精度减法：https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/109164355
高精度乘法：https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/109219640
高精度除法：https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/109223567

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> ve;

void mul(vector<int> &a,int b) {
    int t=0;
    for(int i=0; i<a.size(); i++) {
        t+=a[i]*b;
        a[i]=t%10;
        t/=10;
    }
    while(t) {
        a.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
}

void add(vector<int> &a,int b) {
    int t=b;
    for(int i=0; i<a.size(); i++) {
        t+=a[i];
        a[i]=t%10;
        t/=10;
    }
    while(t) {
        a.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    ve.push_back(0);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        mul(ve,2);
        add(ve,2);
    }
    for(int i=ve.size()-1; i>=0; i--) {
        cout<<ve[i];
    }

    return 0;
}

/*
in:2
out:6
*/

【参考文献】
https://blog.youkuaiyun.com/lq1990717/article/details/126087036
https://blog.youkuaiyun.com/YJH20200901/article/details/118915539
https://www.acwing.com/solution/content/204969/
https://www.acwing.com/solution/content/24198/