2021-07-19 Hanoi双塔问题（汉若塔问题）

Hanoi双塔问题（汉若塔问题）

这两个题目非常的像，一个是双塔，一个是单塔。

一.汉若单塔（也称经典汉若塔问题）

首先，我们先画个 n=3 图：

要把 A 柱上的“圆盘”移到 C 柱上，要求无论在哪个柱子上的圆盘都是大的在下面，小的在上面。求从 A 柱上的圆盘移到 B 柱上要多少步？

1. 实践

遇到这种问题，首先想到的是先模拟一次，如下图：

怎么样？看完过程，是不是清晰了许多？全过程是这样的：

步数	操作
1	① A to C
2	② A to B
3	① C to B
4	③ A to C
5	① B to A
6	② B to C
7	① A to C

2. 探索

总共7步。仔细观察我们可以发现，移动的盘子是对称的，如上表：①②①③①②①。以③为点，左右对称。再看看右边①②①，也是对称的，这是 n=2 时移动的步数。我们是不是可以推测出如果 n=4 时，①②①③①②①④①②①③①②①是移动顺序呢？事实证明的确如此。移动顺序总是上一个序列加上新的盘子再加上一个序列。

由此可得递推公式：
$$f_i=f_{i-1}\ast 2+1(i\le n)$$

3. 运用

如何运用到c++里面呢？

int n=0;
scanf ("%d", &n);
int f[10010]={0};
for (int i = 1 ; i <= n ; ++i)
    f[i] = f[i-1] * 2 + 1;
printf ("%d\n", f[n]);

这就是主程序。

4. 思考

如何输出中间的步骤？可在评论区回答 or 讨论！

二.汉若双塔

1. 认识

我们来看看汗若双塔长什么样子吧：

他就是每种型号多了1个盘子。移动起来的步骤也就乘2了。

2. 实现

int n=0;
scanf ("%d", &n);
int f[10010]={0};
for (int i = 1 ; i <= n ; ++i)
    f[i] = f[i-1] * 2 + 1;
printf ("%d\n", f[n] * 2);

三.加强

当数据 n<=200 时，我们应该怎么做？ answer ：当然是 无符号 long long 啦。

NO！NO！NO！我们应该开高精度，这才是正解！！！

康康 code ：

    int n;
    int ans[210];	
    int j;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=200;j++)
			ans[j]=ans[j]*2;
		ans[1]++;
		for(j=1;j<=200;j++)
			if(ans[j]>=10)
			{
				ans[j+1]+=ans[j]/10;
				ans[j]=ans[j]%10;
			}
	}
	for(j=1;j<=200;j++)
		ans[j]=ans[j]*2;
	for(j=1;j<=200;j++)
		if(ans[j]>=10)
		{
			ans[j+1]+=ans[j]/10;
			ans[j]=ans[j]%10;
		}
	bool p=0;
	for(int i=200;i>=1;i--)
	{
		if(ans[i]!=0)
			p=1;
		if(p)
			printf("%d",ans[i]);
	}

四. Thanks a lot !