视觉SLAM学习第二讲——三维空间刚体运动（工程矩阵、C++11知识补充）

三维空间的刚体运动主要学习点如下：
2.1 点与坐标系
2.2 旋转矩阵
2.3 旋转向量与欧拉角
2.4 四元数
2.5 相似、仿射和射影变换
2.6 实践：Eigen矩阵运算
2.7 实践：Eigen几何模块

对于三维空间刚体整体知识的学习，可参考https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38593194/article/details/85234607
详细讲述了关于刚体运动学的知识，在此就不重复引了。

本文主要补充三维空间刚体运动中的一些基础知识点，包括线性代数（工程矩阵）和c++11新特性等相关知识。

一、 工程矩阵

Eigen是常用的c++矩阵运算库，支持线性代数等矩阵的运算。
1、线性方程Ax=b（A为方阵），分析讨论x解的情况。
A——系数矩阵；A|b——增广矩阵；R(.)——矩阵的秩

• 当b=0时，方程组为齐次线性方程组：
  ①当R(A)=n时，即|A|≠0,x有唯一零解；
  ②当R(A)<n时，即|A|=0，x有无穷解。
• 当b≠0时，方程组为非齐次线性方程组：
  ①R(A)≠R(A|b),x无解；
  ②R(A)=R(A|b)=n时，x有唯一解；
  ③R(A)=R(A|b)<n时，x有无穷解；

2、高斯消元法的原理

1. 高斯消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个行梯阵式。
2. 若用初等行变换将增广矩阵（A|B)化为(C|D)，则AX = B与CX = D是同解方程组。所以可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

3、四种常用分解方法

• 三角分解

  • 目的：将Anxn分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积
  • 分解原理：常用的分解为Crout分解 A=LDU