数据结构--动态查找树表

二叉排序树

概念

二叉排序树或者是一棵空树

或者是具有如下特性的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;
3. 它的左、右子树也都分别是二叉排序树。

例如下图不是二叉排序树：

查找算法

若二叉排序树为空，则查找不成功;

否则：

1. 若给定值等于根结点的关键字，则查找成功;
2. 若给定值小于根结点的关键字，则继续在左子树上进行查找;
3. 若给定值大于根结点的关键字，则继续在右子树上进行查找。

从上述查找过程可见，在查找过程中，生成了一条查找路径:

从根结点出发，沿着左分支或右分支逐层向下直至关键字等于给定值的结点; ——查找成功

从根结点出发，沿着左分支或右分支逐层向下直至指针指向空树为止。——查找不成功

插入算法

根据动态查找表的定义，“插入”操作在查找不成功时才进行

若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点;否则，新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。

删除算法

和插入相反，删除在查找成功之后进行，并且要求在删除二叉排序树上某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。可分三种情况讨论:

1. 被删除的结点是叶子;
2. 被删除的结点只有左子树或者只有右子树;
3. 被删除的结点既有左子树，也有右子树。

被删除的节点时叶子节点

被删关键字 = 20、88。其双亲结点中相应指针域的值改为“空”

被删除的节点只有左子树或只有右子树

被删关键字 = 40、80。其双亲结点的相应指针域的值改为 “指向被删除结点的左子树或右子树”。

被删除的结点既有左子树，也有右子树

被删关键字 = 50。以其前驱替代之，然后再删除该前驱结点

所谓前驱，即是对二叉树进行中序遍历后的前驱。

查找性能的分析

对于每一棵特定的二叉排序树，均可按照平均查找长度的定义来求它的 ASL 值，显然，由值相同的 n 个关键字，构造所得的不同形态的各棵二叉排序树的平均查找长度的值不同，甚至可能差别很大。

由关键字序列3，1，2，5，4 构造而得的二叉排序树$$ASL=(1+2+3+2+3)/5=2.2$$

平衡二叉树

概念

平衡二叉树是二叉查找树的另一种形式，其特点为：树中每个结点的左、右子树深度之差的绝对值不大于 1 。

构造平衡二叉树的方法

在插入过程中，采用平衡旋转技术(LL、RR、LR、RL)。

例如：依次插入的关键字为 5, 4, 2, 8, 6, 9

性能分析

在平衡树上进行查找的过程和二叉排序树相同，因此，查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数不超过平衡树的深度。

因此，在平衡二叉树上进行查找时，查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数和$$lo{g}_2(n)$$相当。