题解：P2231 [HNOI2002] 跳蚤

闲话

一定要掌握各种函数暴力求的方法，我就是不会暴力求 $\mu$ 然后用杜教筛 MLE 了，只能去网上搜……

分析

首先，转移成方程公式，可以得出：
$$\sum _{i=1}^n(a_i\times t_i)=t_{n+1}\times m-1$$
通过裴蜀定理，可以得出要满足：
$$\underset{i=1}{\overset{n}{\gcd }}(a_i)=1$$
这很满足莫比乌斯反演！

但是 $n$ 个很难处理，所以先来看两个：
$$\sum _{a_1=1}^m\sum _{a_2=1}^m[\gcd (i1,i2)]=1$$
很明显的变换：
$$\sum _{d\mid m}\mu (d)\times \lfloor \frac{m}{d}{\rfloor }^2$$
那么，之后也会是 $d\mid i1,d\mid i2,d\mid i3\dots$，那么，可以大胆的猜出公式：
$$\sum _{d\mid m}\mu (d)\times \lfloor \frac{m}{d}{\rfloor }^n$$
其实也很好理解，推出的公式后面全都是：
$$\sum _{a_1=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{a_2=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{a_3=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{a_4=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\cdots \sum _{a_n=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }1=\lfloor \frac{m}{d}{\rfloor }^n$$
那么，就到这里了，正解。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#define MAXN 5000005
using namespace std;
typedef long long ll;
int mo[MAXN];
bool flag[MAXN];
vector<int> prim;
inline ll power(ll x,ll y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1){
            res*=x;
        }
        x*=x;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline void prework(){
	mo[1]=1;
	for(int i=2;i<MAXN;++i){
		if(!flag[i]){
			mo[i]=-1;
			prim.push_back(i);
		}
		for(int j=0;j<prim.size()&&1ll*i*prim[j]<MAXN;++j){
			flag[i*prim[j]]=true;
			if(i%prim[j]){
				mo[i*prim[j]]=-mo[i];
			}else{
				mo[i*prim[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
}
inline int mobius(int n){
	if(n<MAXN){
		return mo[n];
	}
	int ans=1,mul=1;
	for(int i=2;i*i<=n;++i){
		if(n%i==0){
			ans=-ans;
			mul*=i;
		} 
		if(n%(i*i)==0){
			return 0;
		}
	}
	if(mul!=n){
		ans=-ans;
	}
	return ans;
}
int main(){
    prework();
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(m%i==0){
			ans+=mobius(i)*power(m/i,n);
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}