【NP】规约与问题复杂度

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#算法难度 #NP #问题规约

本文介绍了多项式时间规约的概念，探讨了其在设计算法和比较问题难度中的应用，详细阐述了P、NP、co-NP、NP-hard和NP-complete等复杂度类的定义及它们之间的关系，指出P类问题在NP和co-NP中的位置以及P不等于NP∩co-NP的事实。

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多项式时间规约

Polynomial-Time Reductions ：如果问题 Y Y Y 的任意实例可以通过多项式次数的标准计算步骤，加上对解决问题 X X X 的黑盒的多项式次数调用来解决，那么称问题 Y Y Y 可以在多项式时间归约为问题 X X X，记为 Y ≤ p X Y\le_p X Y

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38、NP 完全性：问题规约与复杂度分析
xx56789的博客
09-16 14
本文深入探讨了NP完全性理论中的核心概念——问题规约及其在复杂度分析中的应用。通过多个经典算法问题的相互转换，如最近点对、最长递增子序列、凸包与排序等，展示了规约如何用于构建高效算法或证明问题难度。文章重点阐述了决策问题在规约中的优势，并通过哈密顿回路、顶点覆盖、独立集和通用电影调度等问题的规约关系，揭示了NP完全问题之间的等价性。此外，还讨论了NP完全性理论的实际意义，包括避免无效算法探索、指导问题建模和培养算法直觉，并展望了近似算法、特殊情况求解和新规约方法等未来研究方向。
3、算法设计基础：复杂度分析、数据表示与问题规约
最新发布
ujm567890的博客
09-14 12
本文介绍了算法设计的三大基础：复杂度分析、数据表示与问题规约。内容涵盖大O符号、伪多项式与固定参数可处理算法、摊还分析技术及其在KMP算法中的应用；讨论了基本数据结构的空间需求与简洁数据结构的概念；并通过实例展示了如何将新问题规约为已有经典问题，如LIS规约到LCS，以及团问题到顶点覆盖问题的难度规约，最后简要介绍了NP完全性理论中规约的核心作用。
到底什么是P问题，NP问题，NPC问题，NP-hard问题？什么是规约（或约化）？
weixin_42368982的博客
08-24 3929
我们在阅读paper时，经常会看到NP-hard，NP-complete等问题。我也是慢慢学习发现到这些问题的趣味，下面我们一起来探讨一下P，NP，NP-hard，NP-complete这些问题吧！在正式进入之前，先简单列出一波常见的概念。 1.时间复杂度 在遇到算法问题时，就不可避免的需要讨论算法的时间复杂度。算法的时间复杂度可以用来度量算法的运行时间。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣程度。说白了，时间复杂度也就可以表示为...
一文浅谈P问题、NP问题、NP-hard问题、NPC问题、规约/约化
zhf的博客
12-05 3345
P问题： 那些可以在多项式时间内解决的问题。 那什么是多项式时间呢？    答曰：时间复杂度如(n^2, n^4, n(log(n)) ) 都是多项式时间，如（2^n, n^n ) 就不是多项式时间 NP问题： 对于一类问题，我们可能没有一个已知且快速的方法得到问题的答案，但是如果给我们一个候选解，我们能够在多项式时间内验证这个侯选解到底是不是问题的答案。 NP-hard问题：...
算法设计与分析（电子科技大学）（下）归约与复杂度的NP问题以及近似算法
lyly1995的博客
11-22 5923
第七章 归约与复杂度的NP问题 理解NP完备性理论 （1）理解什么是多项式归约（polynomial-time reduction） （2）知道怎样从一个问题多项式归约到另一个问题，需要熟悉的归约包括：从点覆盖问题到独立集问题，从3-SAT问题到独立集问题等基本归约。 （3）要求掌握同一个问题的最优问题如何多项时间归约到该问题的判断问题（自身归约）； （4）熟悉NP和NPC的概念 （5）记住证明一个问题属于NPC的基本步骤 （6）能证明一个问题是NP-hard 第八章 近似算法 （1）理解什么是近似算
浅谈P/NP问题
我是8位的
09-18 2万+
　　克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute，CMI)是在1998年由商人兰顿·克雷(Landon T. Clay)和哈佛大学数学家亚瑟·杰夫(Arthur Jaffe)创立，兰顿·克雷资助的一家非牟利私营机构，总部在麻萨诸塞州剑桥市，机构的目的在于促进和传播数学知识。克雷数学研究所给予有潜质的数学家各种奖项和资助，该研究所在2000年5月24日公布的七个千禧年难题，它...
1、算法导论---时间复杂度、确定性和非确定性图灵机、算法的确定性与非确定性、P问题、NP问题、规约/约化、NPC问题、NP-hard问题
qyt_722的博客
02-25 1386
算法导论:时间复杂度、确定性和非确定性图灵机、算法的确定性与非确定性、P问题、NP问题、规约/约化、NPC问题、NP-hard问题
P，NP，NPC（NP完备），NP-hard（NP难），时间复杂度
sinat_41348401的博客
01-06 3446
P是在多项式时间可以“解决”的一类问题。NP（Non-deterministic Polynomial）是多项式时间可以“验证”解是否正确。 可以解决，必然可以验证解是否正确。因此P是NP。但NP不一定是P。因此P=NP尚不确定。 NP完备（NP complete，NPC）有两个条件：第一是NP，第二必须所有NP都可以规约到它。 NP难（NP-hard）满足NPC第二条条件，所有NP都可以规约到它，但是它本身并不一定是NP。NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广。如TSP问题。（也就是即使有一天发现
P问题、NP问题、NPC问题、NP-hard问题详解
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KunBB的博客
09-19 5万+
要理解P问题、NP问题、NPC问题、NP-hard问题，需要先弄懂几个概念： 什么是多项式时间？ 什么是确定性算法？什么是非确定性算法？ 什么是规约/约化？ 多项式时间（Polynomial time） 什么是时间复杂度？ 时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当程序所处理的问题规模扩大后，程序需要的时间长度对应增长得有多快。也就是说，对于某一个程序，其处理某一个特定数据的...
一文理解NP完全理论，NP问题，NPC问题
danielxinhj的博客
10-30 1万+
在以往的算法中，所接触到的大都是多项式时间内可完成的算法，比如O(n),O(nlogn),O(n^2)…，但仍存在一些算法的时间复杂度为：O(n^logn),O(2^n),O(n!)是非多项式时间算法，当此类程序规模一旦过大，便成为目前的计算机解决不了的难题。因此尝试用NP完全理论进行理解。
P、NP、NPC、NP-hard问题
Dawn__f的博客
08-12 996
• 若所有的NP问题都能多项式时间内规约到问题X（NP ≤p X），那么X就是一个NP-Hard问题，同时如果X本身也是NP问题，称X是NP-Complete的，否则X就只能是NP-Hard的（我们能够把所有的其他NP问题转化归纳成在多项式时间这样一个步骤下转化成X问题），所以NP-Hard问题是包括NPC问题的，也可以理解为NPC问题是NP问题中最复杂的问题。• P问题是NP问题，P问题是在多项式时间内可以解决的，NP问题在多项式时间内可以验证一个解的问题。P问题和NPC问题是没有交集的。
计算理论初探
wu_wu_wu123的博客
05-25 376
量子计算机使用量子比特计算，计算单元可以打开，关闭或之间的任何值，而不是传统计算机中的字符，要么打开，要么关闭，要么是 1，要么是 0。经典的3-SAT问题是一个NP难问题，即给定一个由布尔变量和逻辑运算符构成的公式，判断是否存在一组变量的赋值使得该公式成立。我们可以将其他问题规约到3-SAT问题来证明它们也是NP难的。量子运算是利用量子力学诸如叠加和纠缠等现象来进行计算，量子计算不同于我们传统的计算方式，传统计算是基于0和1的二维计算，而量子计算则可实现N维并行运算，在运算效率方面的潜力是非常可观的。
如何判断NP-hard问题
艽野尘梦的博客
05-31 1568
判断一个问题是否为NP-hard，主要方法是通过归约法，找一个已知的NP-hard问题，并证明这个问题可以多项式时间归约到你要判断的问题。通过这种方法，如果归约成立，那么你要判断的问题就是NP-hard。
P问题、NP问题、NPC问题（NP完全问题）、NPH问题和多项式时间复杂度
knightmarehs的专栏
09-13 4842
转自 http://blog.youkuaiyun.com/k346k346/article/details/51026006 本文为博主吕吕(Dablelv)原创文章，欢迎转载，传播知识，请留言告知并注明出处。个人之言，请抱着怀疑的态度参考！ 目录(?)[+] 为了弄清楚上面的概念以及对他们有个基本的了解，所以总结出这篇blog。 1.多项式时间复杂度
数据结构——二叉树
yjg17的博客
04-20 383
私有接口有更新节点高度（这个完全可以放到节点类中）、更新节点及祖先的高度（一般这是插入操作后使用），公共接口有插入左孩子右孩子（直接调用节点类的插入即可）（并没有蹩脚的插入父亲） ，接入左子树右子树（attach）（默认左孩子或右孩子为空），子树删除以及子树分离等，还有就是遍历等接口（直接对根节点调用遍历接口即可），这一点是最重要的，就像消灭西瓜游戏一样，合并的树一定是越来越大（最后霍夫曼树的根节点频率值等于所有字符频率值之和），直接放在队尾是最好的选择），这种是用空间换取了时间，
关于NP与co-NP、RP与coRP的理解
国科大网安二班的博客
08-14 6484
关于NP与co-NP、RP与coRP的理解 在相信大多数人在接触计算复杂性领域时，都会被P、NP、NPC、NP-Hard、co-NP、RP……的等一系列困难问题的各种分类搞蒙。关于基本的定义，例如什么是P类问题什么是NP类或者NPC类问题，网上有很多很好的回答，我就不介绍了。这篇主要讲什么是co-NP以及如何理解它。 定义 语言LLL属于coNPcoNPcoNP当且仅当LLL的补集L‾∈NP\overline{L}\in NPL∈NP。 这么简短的一句话该如何理解？若要证明一个问题属于coNPcoNPcoN
P问题、NP问题、NPC问题、NPH问题详解
学习日常记录
06-30 9825
P： Polynomial NP：Pon-deterministic Polynomial NP-Hard（NPH） NP-Complete（NPC） P 问题， 可以理解为：常数增长、线性增长问题 NP问题， 可以理解为：指数增长问题 要理解P问题、NP问题、NPC问题、NP-hard问题，需要先弄懂几个概念： 什么是多项式时间？ 什么是确定性算法？什么是非确定性算法？ 什么是规约/约化？ 文章目录多项式时间（Polynomial time）确定性算法与非确定性算法确定性算法：非确定性算法：规.
P问题、NP问题、NPC问题和NP-hard问题详解
KikuWong
07-13 4982
文章目录**时间复杂度**确定性算法与非确定性算法P类问题(Polynomial)-NP问题的子集NP问题(Non-deterministic Polynomial)-NPC问题的子集NPC问题NP难问题**机器学习中的过拟合与N/NP问题** 在讲题目中的概念的时候，先介绍涉及到的基本概念。 时间复杂度 多项式polynomial：类似于axn−bxn−1+cax^n-bx^{n-1}+caxn−bxn−1+c这样的式子。 对于规模为n的输入，它们在最坏的情况下的运行时间为O(nkn^knk)，其中k为某
什么是所有的np问题都可以规约到np难问题
06-25
### ### NP问题与NP难问题的关系 在计算复杂性理论中，**NP问题**（Non-deterministic Polynomial time）是指可以在非确定型图灵机上以多项式时间解决的一类问题。这类问题的特点是，尽管可能很难找到解，但给定一个候选解后，验证该解的正确性可以在多项式时间内完成。 而**NP难问题**（NP-hard）则是一个更广泛的概念，它包括了所有至少与NP中最难的问题一样难的问题。也就是说，某些NP难问题甚至可能不在NP中，例如优化版本的旅行商问题（TSP）。如果一个问题A能够在多项式时间内被规约到另一个问题B，则说明问题B至少和问题A一样难[^1]。 ### ### 所有NP问题可以规约到哪些NP难问题 根据定义，所有的NP问题都可以通过多项式时间规约到任何一个**NP完全问题**（NP-complete problem），而NP完全问题是NP难问题的一个子集。具体来说： - 任何NP完全问题都满足两个条件：一是它本身属于NP；二是所有的NP问题都可以在多项式时间内规约到它。 - 因此，所有的NP问题都可以规约到任意一个已知的NP完全问题，例如布尔可满足性问题（SAT）、独立集问题、顶点覆盖问题等[^2]。 - 这种规约关系表明，如果某个NP完全问题可以在多项式时间内被解决，那么所有NP问题也可以在多项式时间内解决，这将直接导致P=NP这一重大结论成立。 ### ### 规约的实际意义 通过规约技术，研究者可以将一个未知复杂度的问题转化为一个已知复杂度的问题。例如，证明一个新的问题X是NP难的，只需要找到一个已知的NP完全问题Y，并展示如何在多项式时间内将Y规约到X即可。这种方法避免了需要与整个NP中的所有问题进行比较的繁琐过程[^1]。 ### ### 示例代码：布尔可满足性问题（SAT） 布尔可满足性问题是第一个被证明为NP完全的问题。以下是一个简单的递归算法来检查一个布尔公式是否可满足： ```python def is_satisfiable(formula, assignment): # 如果没有子句剩余，则当前赋值满足公式 if not formula: return True # 取出第一个变量 variable = next(iter(formula)) # 尝试为变量分配True new_formula_true = simplify(formula, {variable: True}) if new_formula_true is not None and is_satisfiable(new_formula_true, assignment + [f"{variable}=True"]): return True # 尝试为变量分配False new_formula_false = simplify(formula, {variable: False}) if new_formula_false is not None and is_satisfiable(new_formula_false, assignment + [f"{variable}=False"]): return True # 无法满足 return False # 简化逻辑函数（示例简化） def simplify(formula, assignment): simplified = {} for clause in formula: simplified_clause = [] for literal in clause: var = literal.strip('!') # 去除否定符号 if var in assignment: value = assignment[var] if (literal.startswith('!') and value) or (not literal.startswith('!') and not value): continue # 该字句为假，跳过 else: simplified_clause.append(literal) else: simplified_clause.append(literal) if len(simplified_clause) > 0: simplified[clause] = simplified_clause else: return None # 存在一个空子句，表示矛盾 return simplified # 示例调用 formula = { ("x1", "!x2"): ["x1", "!x2"], ("x2", "x3"): ["x2", "x3"] } print(is_satisfiable(formula, [])) ``` 这段代码展示了如何通过递归尝试不同的变量赋值来判断布尔公式的可满足性。虽然这是一个指数级复杂度的穷举方法，但它直观地体现了SAT问题的本质。 ###
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