3Blue1Brown 线性代数的本质 笔记

视频

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向量

向量可以视为空间中的点

也可以视为放缩的基向量的组合

矩阵与线性变换

把空间视为基向量张成的空间

把矩阵 AB 相乘视为矩阵 A 与 B 中一个个列向量 b 相乘

而矩阵 A 和列向量 b 相乘时，可以视为矩阵 A 的列向量与 b 中的元素相乘再相加

也是因为 Ax = A(xi + yj)

所以 Ax 可以视为 A 对 xi 做线性变换，对 yj 做线性变换

这里的说法是，将矩阵的列向量其实就是线性变换之后单位向量的位置

例如旋转矩阵

[0 -1]
[1 0]

就是旋转逆时针旋转 90 度之后 i 帽和 j 帽的位置

线性变换是要求变换过程中原点不移动的

线性表示空间中的平行等间隔直线变换之后仍然是平行等间隔直线

例如画一条对角线，然后靠近原点的空间横向压缩程度大，远离原点得空间横向压缩程度小，那么原来的平行等间隔的竖直直线经过变换之后不是等间隔的了，原来的对角线现在会变成曲线，这就不是线性变换

那么 (AB)C = A(BC) 就容易证明

直觉是，不管怎么样，对基向量张成的空间的变换都是从右到左，不管是先算 C 后算 (AB) 还是先算 (BC) 后算 A，结果都是依次算 C B A，所以结果是一样的

行列式

行列式是单位正方形面积缩放的比例

这是在二维空间中的想法，在三维中就是单位立方体体积缩放的比例，在高维中应该是单位超立方体体积缩放的比例？

行列式等于 0 说明面积缩放到 0 其实也就暗合了变换后的基向量不是线性无关的，使得维度降低了，原来的面积（体积）定义下就是一条线（面）（低维物体）（丢失了原来的高维的属性了）

行列式为负，表示经过线性变换之后，对于平面来看是平面翻面，对于空间来说就是空间定向发生了变化（例如左手系变成右手系）

行列式的副对角元素乘积项表示了单位正方形面积沿着对角线伸缩的程序

两个矩阵相乘得到的矩阵的行列式，等于原来两个矩阵的行列式的乘积

要证明它，从直觉上来说，就是因为矩阵是对单位立方体面积的变换，相当于对单位立方体的体积乘以了行列式的值，而乘法是可以线性叠加的

逆矩阵、列空间与零空间

因为把线性变换（矩阵）看成是对基向量张成的空间的变换，所以矩阵的逆就是原矩阵对基向量张成的空间的变换的逆变换

因为某个矩阵行列式等于 0 的时候，相当于把空间降维了，而假设你现在有一个被降维了之后的空间，你不能再把它解压到高维了，也就是你找不出一个逆变换了（例如二维平面被压成一条线，现在你只有一条线，现在要求你从一条线输出两个线性无关的二维向量，这是一对多的情况，这已经不是函数能解决的了），所以矩阵的行列式为 0 的时候，没有逆矩阵

线性方程组可以转化为 Ax = b，其实就是 x 所在的空间 1 经过 A 的变换之后，位于变换后的空间中的 Ax 能够与空间 1 中的 b 重合

A 的行列式为 0 的时候解也可能存在，例如二维空间被压成了一条线，Ax 就是被压成的线，结果 Ax 恰好和 b 重合，三维空间也是如此

对于 Ax，如果 x 经过 A 的变换之后，只能落在一条线上，那么称为 A 的秩为 1，如果 x 经过 A 的变换后，只能落在一个平面上，那么称为 A 的秩为 2……以此类推

Ax 所有可能输出的集合被称为矩阵 A 的列空间 column space

这是因为我们可以把矩阵 AB 相乘视为矩阵 A 与 B 中一个个列向量 b 相乘，而矩阵 A 和列向量 b 相乘时，可以视为矩阵 A 的列向量与 b 中的元素相乘再相加

所以其实 A 的列向量就表示了基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是 Ax 所有可能输出的结果

所以更精确的定义是，矩阵的秩是矩阵的列空间的维数

当秩达到最大时，矩阵的秩数等于矩阵的列数，称为满秩

零向量一定会包含在列空间内

对于一个满秩变换来说，变换之后能够落到自身的只有零向量

但是对于一个非满秩变换来说，它将空间压缩到一个更低的维度，也就说明会有一系列的非零向量经过变换之后会被压