[模板]乘法逆元

本文详细介绍了乘法逆元的概念及其在模意义下的重要性,并提供了利用费马小定理求解乘法逆元的方法及其实现代码示例。

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定义

乘法逆元是一个十分有用的东西。
给定 q,x x1y(mod q)
就是说求 xy=1(mod q) y 的最小值

意义

mod p意义下
xy=x×y1
可以由此取整

求法

费马小定理

yqy(mod q) q 为质数)

求解

我们可以通过费马小定理,得:
yq11(mod q)
yq21y=y1(mod q)
所以:
y1yq2(mod q)

线性递推

f[i]=(pp/i)f[i mod p]

int n,p,f[3000010];
int main()
{
    n=read();
    p=read();
    printf("%d\n",f[1]=1);
    fr(i,2,n)
        printf("%d\n",f[i]=(ll)(p-p/i)*f[p%i]%p);
    rt 0;
}

练手题

Luogu P3811
需要快速幂
注:
程序中 power(i,p2,p)=ip2 mod p

int n,p;
int main()
{
    n=read();
    p=read();
    fr(i,1,n)
        printf("%d\n",power(i,p-2,p));
    rt 0;
}
基于C#开发的一个稳定可靠的上位机系统,旨在满足工业控制的需求。该系统集成了多个功能界面,如操作界面、监控界面、工艺流显示界面、工艺表界面、工艺编辑界面、曲线界面和异常报警界面。每个界面都经过精心设计,以提高用户体验和工作效率。例如,操作界面和监控界面对触摸屏友好,支持常规点击和数字输入框;工艺流显示界面能够实时展示工艺步骤并变换颜色;工艺表界面支持Excel和加密文件的导入导出;工艺编辑界面采用树形编辑方式;曲线界面可展示八组曲线并自定义纵坐标数值;异常报警界面能够在工艺流程出现问题时及时报警。此外,该系统还支持与倍福TC2、TC3和西门子PLC1200/300等下位机设备的通信,确保生产线的顺畅运行。系统参考欧洲工艺软件开发,已稳定运行多年,证明了其可靠性和稳定性。 适合人群:从事工业自动化领域的工程师和技术人员,尤其是对C#编程有一定基础的人群。 使用场景及目标:适用于需要构建高效、稳定的工业控制系统的企业和个人开发者。主要目标是提升生产效率、确保生产安全、优化工艺流程管理和实现数据的有效管理与传输。 其他说明:文中提供了部分示例代码片段,帮助读者更好地理解具体实现方法。系统的复杂度较高,但凭借C#的强大功能和开发团队的经验,确保了系统的稳定性和可靠性。
03-08
### 逆元的概念及其应用 #### 1. 数学定义 在数学中,特别是模运算领域,逆元是一个非常重要的概念。对于特定的运算和集合,逆元有着严格的定义。当提到编程算法中的逆元时,通常指的是模数下的乘法逆元[^1]。 具体来说,如果存在两个整数 \(a\) 和 \(x\),使得 \((a * x) \% m = 1\) 成立,则称 \(x\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 下的乘法逆元。这里的关键在于找到这样的 \(x\)[^2]。 #### 2. 计算方法 为了求解乘法逆元,扩展欧几里得算法是一种常用的方法。该算法适用于满足条件 \(gcd(a, m) = 1\) 的情况。通过解决方程 \(ax + my = 1\) 来获取所需的 \(x\) 值作为最终的结果[(x % m + m) % m][^4]。 以下是利用C++实现上述过程的一个简单例子: ```cpp int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } int r = exGcd(b, a%b, y, x); y -= a / b * x; return r; } // 模板函数用于计算a关于mod m的乘法逆元 int mod_inverse(int a, int m){ int x, y; int g = exGcd(a, m, x, y); if(g != 1){ // 如果最大公约数不是1则不存在逆元 throw std::invalid_argument("No modular multiplicative inverse exists"); } return (x % m + m) % m; // 返回正余数值形式的答案 } ``` 此代码片段展示了如何使用扩展欧几里德算法来寻找给定\(a\)相对于某个质数\(p\)(即此时\(m=p\))的乘法逆元。注意这里的`exGcd()`实现了经典的递归版本的扩展欧几里德算法,并返回了最大公因数以及相应的系数\[x,y\];而`mod_inverse()`则是用来处理特殊情况并调用前者完成实际工作的辅助函数。 #### 3. 应用场景 考虑到模运算是离散数学的重要组成部分之一,在密码学等领域内扮演着不可或缺的角色。因此理解并掌握好有关逆元的知识不仅有助于加深对基础理论的认识,也能为后续学习更高级别的技术打下坚实的基础[^5]。
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