【BZOJ4318】OSU!（期望DP）

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本文介绍了一款名为osu的游戏中的得分计算方法。通过将游戏过程简化为一系列01串，分析了如何根据每个操作的成功率计算出期望得分，并提供了一个具体的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Solution

设 $f_{i}$ 为到当前位置的连续期望长度， $f2_{i}$ 为 $f_i^2$ 的期望值（注意：期望的平方不等于平方的期望！！！）
设 $g_{i}$ 为期望得分，由于 $x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1$ ，有：
$f_{i}=(f_{i-1}+1)a_i$
$f2i=(f2i−1+2×fi−1+1)aif2_i=(f2_{i-1}+2\times f_{i-1}+1)a_i$
$g_i=(3 * f2_i + 3 * f_i + 1) a_i + g_{i-1}$

Source

/**************************************
 * Au: Hany01
 * Date: Feb 8th, 2018
 * Prob: BZOJ4318
 * Email: hany01@foxmail.com
**************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define fir first
#define sec second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Mod (1000000007)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
	register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void File()
{
#ifdef hany01
    freopen("bzoj4318.in", "r", stdin);
    freopen("bzoj4318.out", "w", stdout);
#endif
}

const int maxn = 100005;

int n;
double a[maxn], f[maxn], g[maxn], f2[maxn];

inline double h(double x, double x2) { return 3 * x2 + 3 * x + 1; }

int main()
{
    File();
	n = read();
	For(i, 1, n) scanf("%lf", &a[i]);
	For(i, 1, n)
		f[i] = (f[i - 1] + 1) * a[i],
		f2[i] = (f2[i - 1] + 2 * f[i - 1] + 1) * a[i],
		g[i] = h(f[i - 1], f2[i - 1]) * a[i] + g[i - 1];
	printf("%.1lf\n", g[n]);
    return 0;
}
//野旷天低树，江清月近人。
//    -- 孟浩然《宿建德江》