NOIP2012 开车旅行 （倍增）

Description

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即d[i,j] = |Hi− Hj|。 旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。在启程之前，小 A 想知道两个问题：
1.对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。
2.对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程总数。

Solution

先用std::set预处理出对于每一个位置小A会走到哪里，小B会走到哪里；然后考虑倍增，用$nexa_{i,j}$表示从第$i$个位置开始二人分别走$2^j$次，小A走的距离之和，$nexb_{i,j}$同理，$pos_{i,j}$表示从$i$开始走$2^j$次后的位置，直接处理每个询问即可。

Code

//Author: Hany01
#include<bits/stdc++.h>
#define For(i , j , k) for (register int i = (j) , _##end_ = (k) ; i <= _##end_ ; ++ i)
#define Fordown(i , j , k) for (register int i = (j) , _##end_ = (k) ; i >= _##end_ ; -- i)
#define Set(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Mod (1000000007)
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T> inline bool chkmax(T &a , T b) { return a < b ? (a = b , 1) : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a , T b) { return b < a ? (a = b , 1) : 0; }

int _ , __;
char c_;
inline int read()
{
    for (_ = 0 , __ = 1 , c_ = getchar() ; !isdigit(c_) ; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; isdigit(c_) ; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void File()
{
#ifdef hany01
    freopen("drive.in" , "r" , stdin);
    freopen("drive.out" , "w" , stdout);
#endif
}

const int maxn = 100010;

struct Item
{
    int id , h;
    bool operator < (const Item &item) const { return h < item.h; }
};
set<Item> Set;
typedef set<Item>::iterator It;

struct Frac
{
    LL x , y;
    int id;
    bool operator < (const Frac &A) const { return x * A.y < A.x * y; }
    bool operator == (const Frac &A) const { return x * A.y == A.x * y; }
};

int n , h[maxn] , s[maxn] , x[maxn] , m , min1 , min2 , nexa[maxn] , nexb[maxn] , pos[maxn][18] , log2n;
LL lena[maxn][18] , lenb[maxn][18];

inline void checkmin(int &min1 , int &min2 , int id , int now)
{
    if (abs(h[min1] - now) > abs(h[id] - now)) min2 = min1 , min1 = id;
    else if (abs(h[min2] - now) > abs(h[id] - now)) min2 = id;
}

inline void Init()
{
    n = read();
    For(i , 1 , n) h[i] = read();
    x[0] = read(); m = read();
    For(i , 1 , m) s[i] = read(), x[i] = read();
    h[0] = INF;
    Fordown(i , n , 1)
    {
        min1 = min2 = 0; It itt = Set.insert((Item){i , h[i]}).first , it;
        if (itt != Set.begin())
        {
            it = itt; -- it; checkmin(min1 , min2 , (*it).id , h[i]);
            if (it != Set.begin()) { -- it; checkmin(min1 , min2 , (*it).id , h[i]); }
        }
        if (itt != -- Set.end())
        {
            it = itt; ++ it; checkmin(min1 , min2 , (*it).id , h[i]); ++ it;
            if (it != Set.end()) checkmin(min1 , min2 , (*it).id , h[i]);
        }
        nexb[i] = min1, nexa[i] = min2;
    }
    For(i , 1 , n)
    {
        pos[i][0] = nexb[nexa[i]];
        lena[i][0] = abs(h[nexa[i]] - h[i]);
        lenb[i][0] = abs(h[nexa[i]] - h[nexb[nexa[i]]]);
    }
    log2n = (int)ceil(log(n * 1.0) / log(2.0));
    For(i , 1 , log2n) For(j , 1 , n)
    {
        pos[j][i] = pos[pos[j][i - 1]][i - 1];
        lena[j][i] = lena[j][i - 1] + lena[pos[j][i - 1]][i - 1];
        lenb[j][i] = lenb[j][i - 1] + lenb[pos[j][i - 1]][i - 1];
    }
}

inline void Solve1()
{
    static int now , suma , sumb;
    static Frac Ans = (Frac){1 , 0 , 0} , tmp;
    h[0] = -INF;
    For(i , 1 , n)
    {
        now = i; suma = sumb = 0;
        Fordown(j , log2n , 0)
            if (pos[now][j] && suma + sumb + lena[now][j] + lenb[now][j] <= x[0])
            {
                suma += lena[now][j];
                sumb += lenb[now][j];
                now = pos[now][j];
            }
        if (nexa[now] && suma + sumb + lena[now][0] <= x[0]) suma += lena[now][0];
        tmp = (Frac){suma , sumb , i};
        if (!suma && !sumb) continue;
        if (!chkmin(Ans , tmp) && tmp == Ans && h[i] > h[Ans.id]) Ans = tmp;
    }
    printf("%d\n" , Ans.id);
}

inline void Solve2()
{
    static int now , suma , sumb;
    For(i, 1, m)
    {
        now = s[i]; suma = sumb = 0;
        Fordown(j , log2n , 0) if (pos[now][j] && suma + sumb + lena[now][j] + lenb[now][j] <= x[i])
        {
            suma += lena[now][j];
            sumb += lenb[now][j];
            now = pos[now][j];
        }
        if (nexa[now] && suma + sumb + lena[now][0] <= x[i]) suma += lena[now][0];
        printf("%d %d\n", suma, sumb);
    }
}

int main()
{
    File();
    Init();
    Solve1();
    Solve2();
    return 0;
}
//燕台一去客心惊，笳鼓喧喧汉将营。
//万里寒光生积雪，三边曙色动危旌，
//沙场烽火侵胡月，海畔云山拥蓟城。
//少小虽非投笔吏，论功还欲请长缨。
//--祖咏《望蓟门》