Factorial Trailing Zeroes-Leetcode

本文介绍了一种计算任意正整数阶乘末尾0的数量的方法。通过分析因子5在阶乘中的出现次数来确定末尾0的数量,并提供了一个简洁的C++代码实现。

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        本题仍然是考察思路,属于Easy级别,有了思路后只需几行代码即可实现:

 

class Solution {
public:
    /*
    要想若干数字之乘积末尾出现0,则这些数字的因子中必须包含末尾为2和5的数字,如 10*2 = 20 = 2*5*2, 6*5 = 30 = 2*3*5
    本题是求某个数的阶乘末尾之0的数量,某个数的阶乘就是小于等于这个数且大于1的所有整数之乘积,因5 > 2,因子2出现的频率
    高于5,所以阶乘末尾之0的数量是由因子5的数量决定的。例如5! = 5*4*3*2 = 120,其中因子2有3个,因子5只有1个,所以阶乘
    末尾只有1个0.
    */
    int trailingZeroes(int n) {
        
        int count = 0;
        
        while(n >= 5)
        {
            count += (n /= 5);
        }
        
        return count;
    }
};

        count  += (n /= 5);是简写,实际上有两个赋值操作: n /=5; count += n; 先计算n是5的多少倍,是几倍则很明显求阶乘的那些乘数中就有多少个是5的倍数,于是这些乘数中至少包含这么多个因子5,则阶乘的末尾之0也至少有这么多个。而之所以要循环,是因为有些乘数本身就包含了不止一个因子5。例如 25!= 25*24*23*...*3*2,首先25/5 = 5,因此,这24个乘数中有5个是5的倍数,它们是5,10,15,20,25,因此,至少包含5个因子5,但是,其中有些乘数包含了不止一个因子5,如25 = 5*5,这个乘数包含了两个因子5。在代码中,一次循环后,我们令n /= 5,如果此时n >= 5,我们就再次进入循环。n /= 5相当于将乘数的规模缩减为原来的1/5,如果此时n >= 5,表明求初始数字n的阶乘时某些乘数包含不止一个因子5,我们就就用n / 5求得其中有多少个乘数包含不止一个因子5.例如,25! = 25*24*23*...*3*2,将25 / 5后得到5,表明求25!时某些乘数包含了不止一个因子5,5 / 5 = 1,表明只有一个乘数包含了第二个因子5。依此类推,求得乘数中所有因子5的数量,就是这些乘数之积即阶乘的末尾0之数量。

        为什么可以这样做,其实也很简单。求阶乘时乘数是从1(当然也可以从2)开始的,每5个数就会遇到一个5的倍数,所以求n / 5可以知道有多少个5的倍数即多少个乘数含有因子5;同理,每25个数就会遇到一个包含不止一个因子5的数,因此若要求有多少乘数包含不止一个因子5,我们就须求n / 25,即可知道有多少这样的乘数,代码中令n /= 5可达到同样的效果。

        一道简单的题目也可以引出这么多思考,一方面,很多题目不能只满足于AC,要真正搞懂搞清;另一方面,自己的水平亟需提高啊。

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