Factorial Trailing Zeroes - LeetCode 172

LeetCode上面的一道数学题：

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!. Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

       初看题目，要求n的阶乘结果中末尾有多少个0，于是想到将结果分解成质因子相乘，一对2和5相乘，就能产生一个0。

于是问题转化计算1到N中，有多少对2和5？

       再一想，2的个数明显比5的个数多出很多，于是只需要求出1到N中质因子5的个数。

于是写出：

       1 到N中，能被5整除的数的个数为： N/5，但是其中可能还包括了25,125,625等5的k次方（k = 1,2,3,4,...），它们分别含有n个质因子5。

       但是在前面的N/5个5的倍数中，25已经被计数过一次，因此，为了避免重复计数，25现在只能计算一次，它刚好有两个质因子5，一个已经包含在N/5中，于是此处只需再计数25的倍数的个数，即N/5 +N/25。

       同理，在计算125的质因子5的个数时，它包含三个质因子5，在前面的N/5和N/25分别计数了一次，合计两次，此处只需再计数125的倍数的个数即可，即N/125。

综上：n! 中包含的质因子5的个数为 n/5 +n/25 + n/125 + n/625...

以下是C++ 实现代码：

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;
        while(n > 4)
        {
            count += n/5;
            n /= 5;   /* (1) */
        }
        return count;      
    }
};

备注：（1）处需注意：在循环中修改n的值，逐渐将n缩小为其的五分之一，分母不变，使之变为小整数的除法，时间复杂度才控制在lg以内；若是每次循环后将分母乘以5，分子保持n不变，会因为大整数的除法开销较大而超时。