【PAT数据结构与算法题目集】 哈利·波特的考试 （Floyd算法）

【PAT数据结构与算法题目集】 哈利·波特的考试 （Floyd算法）

题目

哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。

现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式:
输入说明：输入第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。

输出格式:
输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

输入样例:

6 11
3 4 70
1 2 1
5 4 50
2 6 50
5 6 60
1 3 70
4 6 60
3 6 80
5 1 100
2 4 60
5 2 80

输出样例:

4 70

思路

这是一道多源最短路径问题，每个动物是图中的一个结点，动物之间变形咒语的长度就是边的权重，假设转换成的图为 $G=(V,E)$。这题的思路是：
（1）判断图 $G$ 是否是一个连通图，如果不是则要输出0；
（2）如果是，利用 $Floyd$ 算法求多源最短路径，得到每对节点$i,j$之间的最短距离 $S_{i,j}$；
（3）对每个结点 $k$，求结点 $k$ 到其余结点 $j\in (V-k)$ 的最短路径的最大值 max{$S_{k,j}$}；
（4）选取最小的max{$s_{k,j}$}，并将k和max{$S_{k,j}$}输出。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include<string.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

#define Biggest 100000

int graph[105][105];
int shortest[105][105];
int tip[105];

int is_connected(int n) {
    memset(tip, 0, sizeof(tip));
    int i, j, k, ans;
    queue<int>q;

    ans = 0;
    while(!q.empty()) {
        q.pop();
    }
    q.push(1);

    while(!q.empty()) {
        i = q.front();
        q.pop();
        if(tip[i]) {
            continue;
        }
        tip[i] = 1;
        ans++;

        for(j=1; j<=n; j++) {
            if(tip[j] == 0 && graph[i][j] < Biggest) {
                q.push(j);
            }
        }
    }
  
    if(ans == n) {
        return 1;
    }
    return 0;
}

void Floyd(int n) {
    int i, j, k;

    for(k=1; k<=n; k++) {
        for(i=1; i<=n; i++) {
            for(j=1; j<=n; j++) {
                if(shortest[i][j] > shortest[i][k] + shortest[k][j]) {
                    shortest[i][j] = shortest[i][k] + shortest[k][j];
                }
            }
        }
    }
}


int main() {
    int i, j, k, n, e, a, b, m;

    while(~scanf("%d %d", &n, &m)) {

        for(i=1; i<=n; i++) {
            for(j=i; j<=n; j++) {
                if(i == j) {
                    graph[i][j] = 0;
                    shortest[i][j] = 0;
                }
                else {
                    graph[i][j] = graph[j][i] = Biggest;
                    shortest[i][j] = shortest[j][i] = Biggest;
                }
            }
        }

        while(m--) {
            scanf("%d %d %d", &i, &j, &k);
            graph[i][j] = graph[j][i] = k;
            shortest[i][j] = shortest[j][i] = k;
        }

        if(is_connected(n) == 0) {
            printf("0\n");
            continue;
        }

        Floyd(n);

        a = Biggest;
        for(i=1; i<=n; i++) {
            j = shortest[i][1];
            for(k=2; k<=n; k++) {
                if(j < shortest[i][k]) {
                    j = shortest[i][k];
                }
            }
            if(a > j) {
                a = j;
                b = i;
            }
        }
        cout<<b<<" "<<a<<endl;

    }


    return 0;
}