14、指数倾斜、计数数据分析与独立性检验

指数倾斜、计数数据分析与独立性检验

1. 指数倾斜及其应用

1.1 后验方差推导

在指数倾斜相关内容中，我们从一些基本公式出发。首先有：
[
\frac{g_Y^\prime(y)}{g_Y(y)} = \frac{\Sigma^{-1}E(\mu|y) - y}{E(\mu|y)} = y + \Sigma l^\prime(y)
]
对于后验方差 (Var(\mu|y))，通过一系列推导：
[
\begin{align }
Var(\mu|y) &= E\left[(\mu - E(\mu|y))(\mu - E(\mu|y))^T\right]|y\
&= E\left[(\mu - y - \Sigma l^\prime)(\mu - y - \Sigma l^\prime)^T\right]|y\
&= E(\mu - y)(\mu - y)^T - \Sigma (l^\prime(y))(l^\prime(y))^T \Sigma
\end{align }
]
经过代换，我们得到后验方差的表达式为：
[
Var(\mu|y) = \Sigma + \Sigma\left[\frac{1}{g_Y(y)}\frac{\partial^2}{\partial y\partial y^T}g_Y(y) - (l^\prime(y))(l^\prime(y))^T\right]\Sigma = \Sigma + \Sigma l^{\prime\prime}(y) \Sigma
]

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