梁友栋-Barsky算法

 梁友栋-Barsky算法

　

• 此算法的主要特色

  • 把二维裁剪的问题化成二次一维裁剪问题，而把裁剪问题转化为解一组不等式的问题；

  • 改善了Cohen-Sutherland 的编码算法中全部摒弃的判断只适合于那些仅在窗口同一侧(或左、或右、或上、或下) 线段的不足。

    算法分成一维和二维两部分，前者是后者的基础。

• 一维裁剪

  • 一维裁剪的本质是求取2条线段的公共部分。

    一维裁剪算法原理示意图

    • 线段P1P2与一维窗口W1W2的位置分布（未列出重端点状况）
      

  • 设W1W2为一维窗口，P1P2是给定的线段，则P1P2在一维窗口W1W2内的可见部分为：
    
        S=W1W2∩P1P2
    
    令w1,w2和x1,x2分别为W1,W2和P1,P2点的坐标，则P1P2至少部分可见的充要条件是：
    
        max(min(x1,x2), min(w1,w2))≤ min(max(x1,x2), max(w1,w2)) 
    
    （假设线段和窗口均从左至右排列，可简写为：max(x1 , w1) ≤ min(x2,w2) ）即

    • 线段和窗口：左端点中大者≤右端点中小者
      　

• 二维裁剪

  • 二维裁剪算法的本质是如何把二维裁剪的问题化成二次一维裁剪。

    设二维窗口为下列方程所确定：

        x=XL
        x=XR (记XL≤x≤XR的区域为Δx)
        y=YB
        y=YT (记YB≤y≤YT的区域为Δy)
    　

    则平面上任意线段P1P2在窗口内的部分为：

        P1P2∩Δx∩Δy

    设通过P1P2的直线与窗口左、右、上、下边界的交点分别为L、R、B、T，则P1P2可见部分亦可表为：

        P1P2∩LR∩BT

    
    　

  • 当直线垂直时

    • xp1=xp2
      　

      且XL≤xp1≤XR时，P1P2∩LR∩BT 等价于求P1P2∩BT；
      　

  • 当直线平行时

    • yp1=yp2
      　

      且YB≤yp1≤YT时，P1P2∩LR∩BT 等价于求P1P2∩LR； 
      　

  • 线段P1P2既不平行于窗口垂直边界，也不平行于窗口水平边界时

    • 即当xp1≠xp2，且yp1≠yp2

      • L、R、B、T都是确定的
        　

      • P1P2的斜率k=( yp2-yp1)/ ( xp2-xp1)为非零或非奇异值。

            xB= xp1 +(YB- yp1)/k；
            xT= xp1 +(YT- yp1)/k；
        
        且  xB <xT，当k>0；
            xT <xB，当k<0。

      令
          X1= max(xL，min(xp1，xp2))
          X2= min(xR，max(xp1，xp2))

      则P1P2∩LR为非空集合的充要条件是：

          X1≤X2（按照：max(x1 , w1) ≤ min(x2,w2)）

      此时线段P1P2与窗口在X轴方向的公共部分就是：

          ［X1，X2］

      而P1P2∩LR∩BT为非空集合的充要条件为：

          max(X1, min(xB , xT))≤min(X2, max(xB , xT))
      　

    • 它等价于下列三个不等式
      　

      • X1≤X2 
        X1≤max(xB , xT)
        min(xB , xT)≤X2
        　

    • 三个不等式又等价于如下两组不等式

      • X1≤X2 （1）          X1≤X2
        X1≤xT （2） （k>0）   X1≤xB（k<0）
        xB≤X2 （3）          xT≤X2
        　

    • 当上述两组不等式中有任何一个不满足时，线段和窗口不可能有公共部分。
      　

    • 试观察上述三个不等式的几何意义
      　

      • 设k>0
        　

      • 式（1）X1>X2
        　

        • P1P2∩LR的交集为空，即P1P2∩Δx为空，

          此时P1P2， 或在窗口左边界x=XL的左侧，或在窗口右边界x=XR的右侧

          
          　

      • 式（2）X1>xT

        • 此式意味着max(xL,min(xp1,xp2))>xT

          它相当于：xL>xT， 或min(xp1,xp2)>xT

          

          k>0时，当xL>xT ，通过P1P2的直线与窗口上边界的交点T(xT)在窗口左边界的左侧，如a所示

          而min(xp1,xp2)>xT等价于：xp1>xT，或xp2>xT，表示线段P1P2在窗口上边界的上方，如b所示
          　

      • 式（3）xB>X2

        • 同理可知xB>X2表示直线穿越窗口下边边界y=YB和右边边界x=XR (图中c)，或是P1P2在y=YB的下方(图中d)

          
          　

      • 当k<0时

        • 当k<0时,线段与窗口的位置也有对应的4种情况

          

          这个方法增加了跨越三个区域的直线段(a和c状态)的快速拒绝判定。

          这些状态用Sutherland的编码法是不能一次予以解决的（它只能快速拒绝判定b和d）。

          
          　

• 二维裁剪算法的实施

  • 当上述三个条件不全满足，那么线段P1P2至少是部分在窗口内部。此时，若k>0，则可见部分的端点为：

    

    当k<0时，只要交换YB和YT，表中所列结论均适用。

    
    

    转载  http://cg.sjtu.edu.cn/lecture_site/chap3/main.htm