10级台阶问题

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#动态规划 #10级台阶

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本文探讨了经典的爬楼梯问题，通过动态规划的方法解决了该问题，并对比了几种不同的算法实现方式，包括递归算法、备忘录算法及动态规划算法。

问题一：爬楼梯

有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

动态规划的思想：dynamic programming，一种分阶段求解决策问题的数学思想。即大事化小，小事化了。

分两部分：问题建模和求解问题。

（1）问题建模

上述问题假设只差一步走到第10级，则F(10)=F(9)+F(8)。（最优子结构）

.......

我们归纳出的公式如下：

F(1)=1;

F(2)=1;（边界）

.........

F(n)=F(n-1)+F(n-2);（状态转移公式）

动态规划中包含三个重要的概念：最优子结构、边界和状态转移公式。

（2）求解问题

方法1：递归算法

package com.dynamicProgramming_lc;

public class DpDemo {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println(getClimbingWays(10));
	}

	private static int getClimbingWays(int n){
		if (n<0) {
			return 0;
		}
		if (n==1) {
			return 1;
		}
		if (n==2) {
			return 2;
		}
		return  getClimbingWays(n-1)+getClimbingWays(n-2);
	}
}

分析可知：算法时间复杂度过高，达到了O(2^n)，观察递归可知，出现了很多重复的f(*)，可将f(*)放入map中，用时取出即可。

方法2：备忘录算法

package com.dynamicProgramming_lc;

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class DpDemo {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Map<Integer, Integer> map = new HashMap<Integer, Integer>();
		System.out.println(getClimbingWays(map, 10));
	}

	private static int getClimbingWays(Map<Integer, Integer> map, int n){
		if (n<0) {
			return 0;
		}
		if (n==1) {
			return 1;
		}
		if (n==2) {
			return 2;
		}
		if (map.containsKey(n)) {
			return map.get(n);
		} else {
			int value = getClimbingWays(map, n-1)+getClimbingWays(map, n-2);
			map.put(n, value);
			return value;
		}
	}
}

方法3：动态规划算法

上述均为自顶向下计算，换种思路，自底向上计算，不使用递归。只需记住上次和上上次的走法数即可。

package com.dynamicProgramming_lc;

public class DpDemo {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println(getClimbingWays(10));
	}

	private static int getClimbingWays(int n){
		if (n<0) {
			return 0;
		}
		if (n==1) {
			return 1;
		}
		if (n==2) {
			return 2;
		}
		int a = 1;
		int b = 2;
		int temp = 0;
		for (int i=3;i<n;i++) {
			temp = a + b;
			a = b;
			b = temp;
		}
		return temp;
	}
}

其时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。
上述问题只有一个变化维度，较简单。