最大连续子序列和

最大连续子序列和问题是个很老的面试题了，最佳的解法是O(N)复杂度，当然其中的一些小的地方还是有些值得注意的地方的。这里还是总结三种常见的解法，重点关注最后一种O(N)的解法即可。需要注意的是有些题目中的最大连续子序列和如果为负，则返回0；而本题目中的最大连续子序列和并不返回0，如果是全为负数，则返回最大的负数即可。

问题描述

求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为A={1， 3， -2， 4， -5}， 则最大连续子序列和为6，即1+3+（-2）+ 4 = 6。

 

解法1—O(N^2)解法

因为最大连续子序列和只可能从数组0到n-1中某个位置开始，我们可以遍历0到n-1个位置，计算由这个位置开始的所有连续子序列和中的最大值。最终求出最大值即可。

更详细的讲，就是计算从位置0开始的最大连续子序列和，从位置1开始的最大连续子序列和。。。直到从位置n-1开始的最大连续子序列和，最后求出所有这些连续子序列和中的最大值就是答案。

 解法2—O（NlgN）解法

该问题还可以通过分治法来求解，最大连续子序列和要么出现在数组左半部分，要么出现在数组右半部分，要么横跨左右两半部分。因此求出这三种情况下的最大值就可以得到最大连续子序列和。

解法3—O（N）解法

还有一种更好的解法，只需要O（N）的时间。因为最大 连续子序列和只可能是以位置0～n-1中某个位置结尾。当遍历到第i个元素时，判断在它前面的连续子序列和是否大于0，如果大于0，则以位置i结尾的最大连续子序列和为元素i和前面的连续子序列和相加；否则，则以位置i结尾的最大连续子序列和为元素i。

参考 http://blog.youkuaiyun.com/ssjhust123/article/details/8032464

例题:

题目描述：

    给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

输入：

    测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( K< 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。

输出：

    对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。

样例输入：

6
-2 11 -4 13 -5 -2
10
-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21
6
5 -8 3 2 5 0
1
10
3
-1 -5 -2
3
-1 0 -2
0

样例输出：

20 11 13
10 1 4
10 3 5
10 10 10
0 -1 -2
0 0 0

http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1011

AC code:

#define RUN
#ifdef RUN

/**
http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1011
*/


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <assert.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <list>
#include <cctype> 
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <math.h>

using namespace std;

#define MAXN 10001


int buf[MAXN];



//O(n2)
void maxsequence(int n){
	int max_ = buf[0];
	int max_start = buf[0];
	int max_end = buf[0];

	for(int i=0; i<n; i++){
		int sum_ = 0;
		for(int j=i; j<n; j++){
			sum_ += buf[j];
			if(sum_ > max_){
				max_ = sum_;
				max_start = buf[i];
				max_end = buf[j];
			}
		}
	}

	printf("%d %d %d\n", max_, max_start, max_end);
}


/*求三个数最大值*/ 
int max3(int i, int j, int k){
	int max_ = i;
	if(j > max_){
		max_ = j;
	}
	if(k > max_){
		max_ = k;
	}
	return max_;
}



int maxsequence2(int a[], int l, int u){
	if(l > u){
		return 0;
	}
	if(l == u){
		return a[0];
	}
	int m = (l+u)/2;

	// 求横跨左右的最大连续子序列左半部分
	int lmax = a[m], lsum = 0;
	for(int i=m; i>=0; i--){
		lsum += a[i];
		if(lsum > lmax){
			lmax = lsum;
		}
	}

	/*求横跨左右的最大连续子序列右半部分*/ 
	int rmax = a[m+1], rsum = 0;
	for(int i=m+1; i<=u; i++){
		rsum += a[i];
		if(rsum > rmax){
			rmax = rsum;
		}
	}

	return max3(lmax+rmax, maxsequence2(a, 0, m), maxsequence2(a, m+1, u));
}


void maxsequence3(int a[], int len)  
{
	int maxsum, maxhere;  
	maxsum = maxhere = a[0];   //初始化最大和为a[0]  
	int max_start = buf[0];
	int max_end = buf[0];

	int tmp = buf[0];

	for (int i=1; i<len; i++) {
		if (maxhere < 0){
			maxhere = a[i];  //如果前面位置最大连续子序列和小于等于0，则以当前位置i结尾的最大连续子序列和为a[i]
			tmp = a[i];
		}
		else{
			maxhere += a[i]; //如果前面位置最大连续子序列和大于0，则以当前位置i结尾的最大连续子序列和为它们两者之和  
		}
		if (maxhere > maxsum) {  
			maxsum = maxhere;  //更新最大连续子序列和
			max_start = tmp;
			max_end = a[i];
		}  
	}

	printf("%d %d %d\n", maxsum, max_start, max_end);
}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("1011.in", "r", stdin);
	freopen("1011.out", "w", stdout); 
#endif


	int n;
	while(scanf("%d", &n)==1 && n!=0){
		memset(buf, 0, sizeof(buf));
		for(int i=0; i<n; i++){
			scanf("%d", &buf[i]);
		}

		//maxsequence(n);
		//printf("%d\n", maxsequence2(buf, 0, n-1));
		maxsequence3(buf, n);
	}


}


#endif

对于解法2仍存在问题，待解决。解法一和三顺利AC