动态规划 —— dp 问题-买卖股票的最佳时机III

江河入海，知识涌动，这是我参与江海计划的第9篇。

1. 买卖股票的最佳时机III

题目链接：

123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/description/

 

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2. 题目解析 

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3. 算法原理

状态表示：以某一个位置为结尾或者以某一个位置为起点

  

dp[i]表示：第i天结束之后，此时的最大利润 ：两种情况：

   

1. f[i][j]表示：第i天结束之后，完成了j次交易，处于买入状态，此时的最大利润

  

2. g[i][j]表示：第i天结束之后，完成了j次交易，处于卖出状态，此时的最大利润

2. 状态转移方程

  

在第i-1天处于买入状态，看买入状态能不能到自己，看卖出状态能不能到买入状态，另一个状态也是如此，一共4种状态

  

	买入状态到	卖出状态到
买入状态	什么都不干	-prices[i](买股票)
卖出状态	+prices[i](交易次数+1)	什么都不干

1. f[i][j] = max(f[i-1][j] , g[i-1][j] - prices[i])

  

2. g[i][j] = max(g[i-1][j] , f[i-1][j-1] + prices[i]

  

3. 初始化 ：把dp表填满不越界，让后面的填表可以顺利进行

  

因为是在第i-1天处于买入/卖出状态，所以当交易次数为0时，就相当于在第i天为-1，那么就会导致越界

 

所以我们可以修改一下第二个状态转移方程来判断一下，我们可以看到卖出状态到自己的情况是不会改变的，所以只用修改买入状态到卖出状态  ：

  

                                                1. g[i][j] = g[i-1][j]（此状态一定不会越界）

   

                                                2. if(j-1>=0)     g[i][j] = max(g[i][j] , f[i-1][j-1] + prices[i]

  

在查找f[i-1][j-1] + prices[i]状态的时候先判断一下 下标是否合法(if(j-1>=0))，然后再求max 

定义一个正无穷大/小的时候涉及到需要进行加减操作的时候，不要使用INT_MIN/MAX，因为如果INT_MIN减去一个数的话就会变成一个非常大的整数而导致溢出，所以我们最好用 +/- 0x3f3f3f3f 来表示最小值

   

  

本题初始化就是先将表里的所有值都初始化为-无穷大，再把f[0][0] = --prices[0],g[0][0] = 0 

4. 填表顺序 

    

本题的填表顺序是：从上往下填写每一行，每一行从左往右，两个表同时填

5. 返回值 ：题目要求 + 状态表示    

    

因为是要最大利润，所以买入状态不用考虑  

本题的返回值是：g表里最后一行里面的最大值

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4. 代码  

动态规划的固定四步骤：1.  创建一个dp表

                                        2. 在填表之前初始化

                                        3. 填表（填表方法：状态转移方程）

                                        4. 确定返回值

class Solution {
public:
    const int INF=0x3f3f3f3f;//将无穷大赋予给INF
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        //1.  创建dp表
        //3：交易次数的三列：0，1，2,再将所有的位置都变成负无穷大
        vector<vector<int>>f(n,vector<int>(3,-INF));
        auto g=f;

        //2. 在填表之前初始化
        f[0][0]=-prices[0];
        g[0][0]=0;

         //3. 填表（填表方法：状态转移方程）
         for(int i=1;i<n;i++)
         {
            for(int j=0;j<3;j++)//j只有0，1，2三种状态
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);
                 g[i][j]=g[i-1][j];
                if(j>=1)
                    g[i][j]=max(g[i][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);
            }
         }
            //g表里最后一行里面的最大值
            int ret=0;
            for(int j=0;j<3;j++)
                ret=max(ret,g[n-1][j]);
                return ret;
    }
};

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未完待续~