2.8 控制系统数学模型的MATLAB描述

控制系统常用的数学模型有三种：传递函数、

零极点增益和状态空间。每种模型均有连续/离散之分，它们各有特点，有时需在各种模型之间进行转换。本节主要介绍它们的MATLAB表示及三种模型之间的相互转换。

2.8.1连续系统数学模型的MATLAB表示

1． 传递函数模型

当：

则在MATLAB中，直接用分子/分母的系数表示，即
        num=[b0，b1，…，bm]；
        den = [a0，a1，…，an]；

例2-7 用MATLAB表示传递函数为 的系统。

解：在MATLAB环境下输入
ng=[1 1]; dg=[1 3 2];
printsys(ng,dg) %此处printsys命令是传递函数显示命令。

则执行后得到如下结果：

2． 零极点增益模型

当：

时

则在MATLAB中，用[z，p，k]矢量组表示，即
        z=[z0，z1，…，zm]；
        p=[p0，p1，…，pn]；
        k=[k]；

例2-8 用MATLAB表示传递函数为 的系统。

解：在MATLAB环境下输入
z=-1; p=[0 -1 -2]; k=1.5;
[num,den]=zp2tf[z,p,k];
printsys(num,den) %此处printsys命令是传递函数显示命令。
则执行后得到如下结果：

3． 状态空间模型

当：

时

则在MATLAB中，该控制系统可用（a，b，c，d）矩阵组表示。

4． 传递函数的部分分式展开

当：

时

在MATLAB中直接用分子/分母的系数表示时有
    num=[b0，b1，…，bm]；
    den = [a0，a1，…，an]；
则命令
    [r,p,k] = residue(num,den)
将求出两个多项式Y(s)和X(s)之比的部分分式展开的留数、极点和直接项。Y(s)/X(s)的部分分式展开由下式给出：

例2-A2 考虑下列传递函数：

命令 [r,p,k] = residue(num,den)
将给出下列结果：

[r,p,k]=residue(num,den)
r=
-6.000
-4.000
3.000
p=
-3.000
-2.000
-1.000
k=
2

留数为列向量r，极点位置为列向量p，直接项是行向量k。以下是Y(s)/X(s)的部分分式展开的MATLAB表达形式：

命令
[num,den] = residue(r,p,k)

执行后得到如下结果：

[num,den]=residue(r,p,k)
num=
2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den=
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

2.8.2离散系统数学模型的MATLAB表示

1． 传递函数模型：

2． 零极点增益模型：

3． 状态空间模型：

2.8.3模型之间的转换

同一个控制系统都可用上述三种不同的模型表示，为分析系统的特性，有必要在三种模型之间进行转换。MATLAB的信号处理和控制系统工具箱中，都提 供了模型变换的函：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它们的关系可用图2-17所示的结构来表示。

图2-18 三种模型之间的转换

说明：

ss2tf命令：将状态空间模型转换成传递函数模型。
格式为：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
式中，iu为输入的序号。转换公式为

ss2zp命令：将状态空间模型转换成零极点增益模型。
格式为：[Z, P, K]=ss2zp(A, B, C, D, iu)
式中，iu为输入的序号。

tf2ss命令：将传递函数模型转换成状态空间模型。
格式为：[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

tf2zp命令：将传递函数模型转换成零极点增益模型。
格式为：[Z, P, K]=tf2zp(num, den)

zp2ss命令：将零极点模型转换成状态空间模型。
格式为：[A, B, C, D]=zp2ss(Z, P, K)

zp2tf命令：将零极点模型转换成传递函数模型。
格式为：[num, den]=zp2tf(Z, P, K)

2.8.4控制系统建模

对简单系统的建模可直接采用三种基本模型：传递函数、零极点增益、状态空间模型。但实际中经常遇到几个简单系统组合成一个复杂系统。常见形式有：并联、串联、闭环及反馈等连接。

1． 并联：将两个系统按并联方式连接，在MATLAB中可用parallel函数实现。 命令格式为：[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2) 其对应的结果为：Gp(s)=G1(s)+G2(s)

2． 串联：将两个系统按串联方式连接，在MATLAB中可用series函数实现。 命令格式为：[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2) 其对应的结果为：Gs(s)=G1(s)+G2(s)

3． 闭环：将系统通过正负反馈连接成闭环系统，在MATLAB中可用feedback函数实现。 命令格式为：[numf, denf] = feedback(num1, den1, num2, den2, sign) sign为可选参数，sign=-1为负反馈，而sign=1对应为正反馈。缺省值为负反馈。 其对应的结果为：

4． 单位反馈：将两个系统按反馈方式连接成闭环系统（对应于单位反馈系统），在MATLAB中可用cloop函数实现。 命令格式为：[numc, denc] = cloop(num, den, sign) sign为可选参数，sign=-1为负反馈，而sign=1对应为正反馈。缺省值为负反馈。 其对应的结果为：