【矩阵快速幂】P11765「KFCOI Round #1」回首|普及+

本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P11765 「KFCOI Round #1」回首

题目背景

控制住不爱一个人很难，因为爱是自由意识的沉沦。

其实从始至终，只要你回首，他就永远都陪伴在你身后。

题目描述

你一共有 $n$ 条重要的回忆，每条回忆有一个重要系数 $k_i$，并且这 $n$ 条回忆彼此之间有 $m$ 个前后关系。

每一条关系 $u,v(1\le u,v\le n)$ 表示 $u$ 发生的时间恰好在 $v$ 前。

可能是因为时间过久导致你的记忆错乱，在时间线中可能会出现环。

一开始，所有点的重要度均为 $0$，一共你会进行 $T$ 次回想操作。

若当前正在进行第 $t$ 次操作：

• 操作前，对于一条回忆 $x_i$，它的重要度会乘上重要系数 $k_i$。

• 操作中，对于一条回忆 $x_i$，如果有恰好发生在回忆 $x_i$ 前的回忆 $y_i$，那么将回忆 $x_i$ 的重要度增加 $y_i$ 在本次乘上重要系数 $k_i$ 之前的重要度。否则回忆 $x_i$ 的重要度增加 $t$。

当然，为了防止一条回忆过于重要，输出每条回忆的重要度对 $998244353$ 取余的结果。

---

形式化题意：

给定一个 $n$ 个节点，$m$ 条边的有向图，并保证不会出现重边。初始所有点的点权都为 $0$。

一共将进行 $T$ 次操作。

对于第 $t$ 次操作，首先将所有点的点权乘上一个给定的值 $k_i$。

接下来，对于一个点 $x_i$，如果有连向它的点 $y_i$，那么将 $x_i$ 的权值加上 $y_i$ 在本次乘上 $k_i$ 之前的权值。否则如果没有连向它的点，$x_i$ 的权值加上 $t$。

输出的所有点的权值对 $998244353$ 取余的结果。

输入格式

本题输入均为正整数。

第一行三个数 $n,m,T$，表示一共有 $n$ 条回忆，$m$ 个关系，以及一共进行 $T$ 次回想操作。

第二行 $n$ 个数，表示重要系数 $k_i$。

接下来 $m$ 行，每行两个数 $x_i,y_i$，表示 $x_i$ 发生的时间恰好先于 $y_i$。

输出格式

输出共一行 $n$ 个数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 个点的重要度对 $998244353$ 取余的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 3
1 2 3 4 5
1 2
2 3
1 4
2 4
4 5

输出 #1

6 5 1 8 1

说明/提示

样例解释 1：

第一次操作时，所有的点重要度为 $0$。

乘上重要系数后依旧为 $0$。

第一个点的重要度加上当前正在进行的回想操作次数 $1$。

其余点均加上 $0$。

第一次操作后，所有点的重要度分别为 1,0,0,0,0。

类似的，第二次操作后，所有点的重要度分别为 3,1,0,1,0。

第三次操作后，所有点的重要度分别为 6,5,1,8,1。

---

数据范围

本题采用捆绑测试。

• Subtask 1（20 points）：$1\le n\le 10$，$1\le T\le 10$。
• Subtask 2（20 points）：$1\le T\le 10^5$。
• Subtask 3（60 points）：无特殊限制。

对于所有测试数据，$1\le n\le 100$，$1\le m\le 300$，$1\le T\le 10^{18}$，$1\le k_i\le 10^9$，$1\le x_i,y_i\le n$。

11765 矩阵快速幂

点改成从0开始。
初始为a，每次操作++。如何用矩阵求n次后的a值。
pre= {a,1} cur[0]=a+1，就mat[0][0]=1,mat[1][0]=1,mat[1][1]=1。
矩阵是：N+2阶方阵。前N个元素是各点权值，第N个元素是t，最后一个元素恒为1。
mat[N][N]=1 mat[N+1][N]=1 mat[N+1][N+1]=1,下面来处理前N个元素的矩阵。
点权乘以ki，即cur[i]=ki*pre[i] ,即 mat[i][i]=ki。
i是j的前置节点，则mat[i][j]++
如果i没有前置节点（入度为0），则mat[N][i]++
pre的最后两个元素是1，其它全文0。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CMatMul
{
public:
	CMatMul(long long llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<long long>> multiply(const vector<vector<long long>>& a, const vector<vector<long long>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<long long>> ret(r, vector<long long>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<long long>> pow(const vector<vector<long long>>& a, vector<vector<long long>> b, long long n) {
		vector<vector<long long>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<long long>> TotalRow(const vector<vector<long long>>& a)
	{
		vector<vector<long long>> b(a.front().size(), vector<long long>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
protected:
	const  long long m_llMod;
};

class Solution {
public:
	vector<int> Ans(const vector<int>& ks, vector<pair<int, int>>& edge, long long T) {
		for (auto& [x, y] : edge) { x--, y--; }
		const int N = ks.size();
		vector<vector<long long>> pre(1, vector<long long>(N + 2));
		pre[0][N] = pre[0][N + 1] = 1;
		vector<vector<long long>> mat(N + 2, vector<long long>(N + 2));
		mat[N][N] = 1, mat[N + 1][N] = 1, mat[N + 1][N + 1] = 1;
		for (int i = 0; i < N; i++) { mat[i][i] = ks[i]; }
		vector<int> vIn(N);
		for (const auto& [x, y] : edge)
		{
			mat[x][y]++;
			vIn[y]++;
		}
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			if (0 == vIn[i]) { mat[N][i]++; }
		}
		CMatMul matMul(998244353);
		auto ans = matMul.pow(pre, mat, T);
		vector<int> vans(N);
		for (int i = 0; i < N; i++) { vans[i] = ans[0][i]; }
		return vans;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0);
	int n, m; long long T;
	cin >> n >> m >> T;
	auto ks = Read<int>(n);
	auto edge = Read<pair<int, int>>(m);
#ifdef _DEBUG		
	printf("T=%lld,", T);
	Out(ks, "ks=");
	Out(edge, ",edge=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(ks,edge,T);
	for (const auto& i : res) {
		cout << i << " ";
	}	
	return 0;
}

单元测试

long long T;
		vector<int> ks;
		vector<pair<int, int>> edge;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			T = 0, ks = { 1,2,3,4,5 }, edge = { {1,2},{2,3},{1,4},{2,4},{4,5} };
			auto res = Solution().Ans(ks,edge,T);
			AssertEx({ 0,0,0,0,0 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			T = 1, ks = { 1,2,3,4,5 }, edge = { {1,2},{2,3},{1,4},{2,4},{4,5} };
			auto res = Solution().Ans(ks, edge, T);
			AssertEx({ 1,0,0,0,0 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod3)
		{
			T = 2, ks = { 1,2,3,4,5 }, edge = { {1,2},{2,3},{1,4},{2,4},{4,5} };
			auto res = Solution().Ans(ks, edge, T);
			AssertEx({ 3,1,0,1,0 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod4)
		{
			T = 3, ks = { 1,2,3,4,5 }, edge = { {1,2},{2,3},{1,4},{2,4},{4,5} };
			auto res = Solution().Ans(ks, edge, T);
			AssertEx({ 6,5,1,8,1 }, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步优快云学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.youkuaiyun.com/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.youkuaiyun.com/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。