【动态规划矩阵快速幂】P4838 P哥破解密码|普及+-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/he_zhidan/article/details/145859006

本文涉及知识点

P4838 P哥破解密码

题目背景

P 哥是一个经常丢密码条的男孩子。

在 ION8102 赛场上，P 哥又弄丢了密码条，笔试满分的他当然知道这可是要扣 $5$ 分作为惩罚的，于是他开始破解 IONXunil 系统的密码。

题目描述

定义一个串合法，当且仅当串只由 $\verb!A!$ 和 $\verb!B!$ 构成，且没有连续的 $3$ 个 $\verb!A!$ 。P 哥知道，密码就是长度为 $N$ 的合法字符串数量对 $19260817$ 取模的结果。但是 P 哥不会算，所以他只能把 $N$ 告诉你，让你来算。

至于为什么要对这个数取模，好像是因为纪念某个人，但到底是谁，P 哥也不记得了。

然而他忘记字符串长度 $N$ 应该是多少了，于是他准备试 $M$ 组数据。

输入格式

第一行给出一个整数 $M$ 表示询问次数。

接下来 $M$ 行每行给出一个正整数 $N$ ，表示该组询问中字符串的长度。

输出格式

对于每一次询问输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

2
7
44

说明/提示

样例部分解释 :。

长度为 $1$ 时只有 $\verb!A!$ 和 $\verb!B!$ 两种排列，都是合法的。

长度为 $3$ 时除了 $\verb!AAA!$ 是不合法的其他都是可以的，故有 $2^3-1$ 种。

数据范围。

对于 $20\%$ 数据，全部 $N\leq20$ ， $M\leq2$ ；
对于 $70\%$ 数据，全部 $N\leq10^7$ ；
对于 $100\%$ 数据，全部 $N\leq10^9$ ， $M\leq10$ 。
P4838 状态机动态规划矩阵快速幂
状态机动态规划 $\rightarrow$ 滚动向量 $\rightarrow$ 矩阵快速幂
pre[0]记录以?B记录为的方案数，pre[1]记录以BA结尾的数量,pre[2]记录以AA结尾的数量。
以?B结尾，选择A，mat[0][1]++;选择B，mat[0][0]++；
以BA结尾，选择A,mat[1][2]++;选择B mat[1][0]++;
以AA结尾，不能选择A，选择B,mat[2][0]++。
就矩阵为：{{1,1,0},{1,0,1},{1,0,0}}。
初始值 pre = { {1,0,0} };

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1,class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1,T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2,class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2,T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3,class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3,T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for(int i = 0 ;i < canRead;i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CNeiBo
{
public:
	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& [i1, i2] : edges)
		{
			vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};

class CMatMul
{
public:
	CMatMul(long long llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<long long>> multiply(const vector<vector<long long>>& a, const vector<vector<long long>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<long long>> ret(r, vector<long long>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<long long>> pow(const vector<vector<long long>>& a, vector<vector<long long>> b, long long n) {
		vector<vector<long long>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<long long>> TotalRow(const vector<vector<long long>>& a)
	{
		vector<vector<long long>> b(a.front().size(), vector<long long>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
protected:
	const  long long m_llMod;
};

class Solution {
public:
	int Ans(const int N) {
		CMatMul matMul(19260817);
		vector<vector<long long>> mat = { {1,1,0},{1,0,1},{1,0,0} };
		vector<vector<long long>> pre = { {1,0,0} };
		auto ans = matMul.pow(pre, mat, N)[0];
		int iAns = accumulate(ans.begin(), ans.end(), 0);
		return iAns % 19260817;
	}
};

int main() {	
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	
	CInBuff ib;
	auto que = ib.Read<int>();
	for (const auto& i : que) {
		auto res = Solution().Ans(i);
		cout << res << endl;
	}
#ifdef _DEBUG		
	/*printf("N=%d,T=%d,", N,T);
	Out(edge, "edge=");*/
	//Out(pos, ",pos=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG		
	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod1)
		{	
			auto res = Solution().Ans(1);
			AssertEx(2, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			auto res = Solution().Ans(2);
			AssertEx(4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod3)
		{
			auto res = Solution().Ans(3);
			AssertEx(7, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod4)
		{
			auto res = Solution().Ans(6);
			AssertEx(44, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步优快云学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.youkuaiyun.com/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.youkuaiyun.com/lecturer/6176