旋转卡壳 求最远点对

struct point{
	int x,y;
	point(){}
	point(int xx,int yy){x=xx;y=yy;}
	point operator-(point const &b)const{
		return point(x-b.x,y-b.y);
	}
	int friend operator*(point a,point b){
		return f_abs(a.x*b.y-a.y*b.x);
	}
	int len2(){
		return x*x+y*y;
	}
};
/*==================================================*\
| rotating_calipers 旋转卡壳 O(N)
| CALL: res = graham(pnt, n); res为最远点距离平方;
\*==================================================*/
int rotating_calipers(point pnt[],int n){
    int q=1,ans=0,i;
    for(i=0;i<n;i++){
        while( (pnt[(i+1)%n]-pnt[i])*(pnt[(q+1)%n]-pnt[i])>(pnt[(i+1)%n]-pnt[i])*(pnt[q]-pnt[i]))q=(q+1)%n;
        ans=f_max(ans , f_max((pnt[i]-pnt[q]).len2(),(pnt[(i+1)%n]-pnt[(q+1)%n]).len2()));
    }
    return ans;
}


<think>好的,我现在需要帮助用户了解旋转卡壳算法的实现和应用场景。首先,我得回顾一下旋转卡壳算法的基本概念,确保自己理解正确。旋转卡壳算法主要用于计算几何问题,通常涉及凸多边形的最优解,比如找直径、最小面积外接矩形等。 用户提到了应用场景,我需要列举几个常见的例子,比如凸多边形的直径、最近对、最小面积外接矩形等。同时,用户还希望知道实现方法,所以得考虑算法的具体步骤,比如如何利用对踵对,如何旋转卡壳等。 接下来,我需要检查是否有相关的引用资料可用。用户提供的引用[1]和引用[2]中提到旋转卡壳用于最小面积外接矩形和凸包处理,这可能作为应用案例。需要将这些引用自然地融入回答中,并在末尾添加引用标识。 关于实现部分,可能需要描述算法的关键步骤,比如计算凸包,初始化对踵,然后旋转方向,更新最大值等。但用户没有要具体代码,所以可能用伪代码或者步骤说明更合适。但用户示例中的快速排序给出了Python代码,是否需要提供类似代码呢?但旋转卡壳的实现可能较为复杂,可能需要依赖凸包的计算,所以是否要给出一个简化的示例? 另外,用户要生成相关问题,我需要想几个与旋转卡壳相关的问题,比如与其他算法的比较、时间复杂度、具体应用中的优化等。 还要注意格式要:行内公式用$...$,独立公式用$$...$$,确保LaTeX正确。例如,在说明最小面积外接矩形时可能需要公式,如面积计算。 现在整理结构: 1. 算法简介:解释旋转卡壳的基本思想,对踵的概念。 2. 应用场景:直径、外接矩形、凸包距离等,引用提供的例子。 3. 实现步骤:计算凸包,遍历对踵旋转过程,关键步骤说明。 4. 相关问题:生成3-4个相关问题,如时间复杂度、实际应用、与其他算法比较等。 需要确保回答结构清晰,用中文,符合用户的要。同时,引用标记要正确添加,比如在提到最小面积外接矩形时引用[^1],在凸包处理时引用[^2]。 可能需要注意的细节包括:旋转卡壳如何高效地找到对踵,避免暴力枚举,从而降低时间复杂度。例如,对于凸多边形,对踵的数量是线性的,因此算法可以在线性时间内完成。 检查是否有错误,比如是否混淆了旋转卡壳与其他算法,比如Graham扫描。确认旋转卡壳的核心是处理凸多边形,利用对踵的性质。 最后,确保回答中的每个应用场景都明确,并正确引用相关资料,同时生成的相关问题有意义,能够引导用户进一步探索。</think>### 旋转卡壳算法详解 #### 一、算法简介 旋转卡壳(Rotating Calipers)是一种用于解决凸多边形相关几何问题的高效算法,核心思想是通过旋转“卡尺”(即一对平行线或方向)遍历凸多边形的顶,利用对踵对(Antipodal Pair)的特性优化计算过程。其时间复杂度通常为 $O(n)$ 或 $O(n^2)$,具体取决于应用场景。 #### 二、应用场景 1. **凸多边形直径** 凸多边形的直径定义为顶最大距离旋转卡壳通过遍历所有对踵对,找到距离最大对,避免暴力枚举所有顶组合[^1]。 $$ \text{Diameter} = \max \left\{ \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2} \mid i,j \in \text{凸包顶} \right\} $$ 2. **最小面积外接矩形** 对于凸多边形,最小面积的外接矩形必有一条边与凸多边形的某条边共线。旋转卡壳通过旋转方向,计算每个方向下的外接矩形面积,最终找到最小值。 3. **凸多边形间最大距离** 用于计算两个凸多边形之间的最远点对,例如在碰撞检测中。 4. **凸包顶遍历** 结合凸包算法(如Graham扫描),旋转卡壳可高效处理凸包顶,例如按特定顺序输出顶。 --- #### 三、算法实现步骤(以计算凸多边形直径为例) 1. **计算凸包** 使用Graham扫描或Andrew算法生成凸包顶,按逆时针顺序排列。 2. **初始化对踵对** 找到初始对踵:通常选择y坐标最小的顶 $p$ 和y坐标最大的顶 $q$。 3. **旋转遍历** 通过向量叉积判断旋转方向,逐步移动卡尺的平行边: - 计算当前对踵距离,更新最大值。 - 若边 $p_i p_{i+1}$ 与边 $q_j q_{j+1}$ 的旋转方向不同,则移动距离较远的一侧顶。 ```python # 伪代码示例 def rotating_calipers(polygon): convex_hull = compute_convex_hull(polygon) # 计算凸包 n = len(convex_hull) max_dist = 0 j = 1 # 初始对踵索引 for i in range(n): next_i = (i + 1) % n while cross_product(convex_hull[i], convex_hull[next_i], convex_hull[j]) < cross_product(convex_hull[i], convex_hull[next_i], convex_hull[(j+1)%n]): j = (j + 1) % n current_dist = distance(convex_hull[i], convex_hull[j]) if current_dist > max_dist: max_dist = current_dist return max_dist ``` --- #### 四、关键优化 - **减少计算量**:通过叉积判断旋转方向,避免重复计算。 - **线性时间复杂度**:凸包顶遍历和对踵移动均只需线性时间。 ---
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