[BZOJ2179]FFT快速傅立叶

最新推荐文章于 2018-11-26 15:01:00 发布

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#快速傅里叶变换

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本文详细介绍了使用快速傅立叶变换（FFT）进行大整数乘法运算的方法，通过将整数视为多项式并利用FFT加速乘法过程，实现了高效的大整数乘法算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

FFT快速傅立叶

Description
给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算x*y。
Input
第一行一个正整数n。第二行描述一个位数为n的正整数x。第三行描述一个位数为n的正整数y。
Output
输出一行，即x*y的结果。
Sample Input
1
3
4
Sample Output
12
数据范围：
n<=60000

Solution
一个n位大整数可以视作一个n项n-1次的多项式代入10的结果
整数乘法符合卷积性质

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double pi=acos(-1.);
const int N=301000;

struct Comp{
    double x,y;
    Comp(double _x=0.,double _y=0.):x(_x),y(_y){}
}A[N],B[N];
inline Comp operator +(const Comp &a,const Comp &b){return Comp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Comp operator -(const Comp &a,const Comp &b){return Comp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline Comp operator *(const Comp &a,const Comp &b){return Comp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
int n,m,C[N],R[N],L;

void read(Comp *A){
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        char ch; while(!isdigit(ch=getchar()));
        A[i].x=ch-'0';
    }
}
void FFT(Comp *a, int f){
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        Comp wn=Comp(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p){
            Comp w=Comp(1.,0.);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn){
                Comp A0=a[j+k],A1=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=A0+A1;a[j+k+i]=A0-A1;
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);read(A);read(B);
    for(m=2*n,n=1;n<=m;n<<=1,L++);
    for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    FFT(A,1);FFT(B,1);for(int i=0;i<n;i++)A[i]=A[i]*B[i];FFT(A,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)C[i]=(int)round(A[i].x/n);
    for(int i=0,d=0;i<=m;i++){C[i]+=d;d=C[i]/10;C[i]%=10;}
    for(;!C[m];m--);
    for(;m>=0;m--)printf("%d",C[m]);puts("");
    return 0;    
}