BZOJ2179 FFT快速傅立叶

标签：FFT

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Description
给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算x*y。
Input
第一行一个正整数n。 第二行描述一个位数为n的正整数x。 第三行描述一个位数为n的正整数y。
Output
输出一行，即x*y的结果。
Sample Input
1

3

4

Sample Output
12

数据范围：

n<=60000

分析

FFT模板题，理解起来好困难啊，照着黄学长的代码敲的，看来我不适合学习FFT。。。

bzoj100题纪念！！！

快速傅里叶变换FFT*

复数和复平面

我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

其中i是方程$x^2=-1$的根，相当于$\sqrt{-1}$（注意只是相当于，易于理解！！！）

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作$∣z∣$
即对于复数$z=a+bi$，它的模为$\sqrt{a^2+b^2}$

称复数$z'=a-bi$为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

运算法则和普通多项式类似

复平面就是将$z=a+bi$在平面上表示为（a,b），x轴为实部单位1，y轴为虚部单位i

多项式的表达方式

系数表达和点值表达

系数表达就是大家常用的表达方式，点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点，这样就可以确定原多项式。

举个栗子

我们通过三点可以确定一个二次函数，两点确定一条直线。一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0到n-1次幂的多项式)。

$f(x)=x^2+2x-1$可以被表达为${ ( 0 , -1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 7 ) }$

将多项式用点值表达可以快速加法和乘法

单位根

这样算出来的点值表示法，那么对应的求值点究竟是哪些呢？

答案是2n次单位根。

数学上，n次单位根是n次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是1。

复数中1恰好有n个单位根$e^{2k\pi i/n}$

$e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x$

DFT和FFT

使用单位根计算点值表达式叫DFT（离散傅里叶变换）复杂度$O(n^2)$，FFT是其分治的优化版，复杂度$O(n\ log\ n)$

//以下部分看不懂的可以跳过（本部分引用自picks博客http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform）

假如我们取单位根的幂进行转换，会有什么效果？

设$A_0 (x)$是$A(x)$的偶次项的和，$A_1(x)$是奇次项的和。那么：

$$\begin{eqnarray} A(\omega_{n}^{m})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m}A_1((\omega_{n}^{m})^{2}) \\ &=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})+\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m}) \\ A(\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}}A_1((\omega_{n}^{m})^{2}) \\ &=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})-\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m}) \end{eqnarray}$$

即我们只要有了$A_0 (x)A_1(x)$的点值表示，就能在$O(n)$时间内算出$A(x)$的点值表示。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<complex>
#define pi acos(-1)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=2e5+6;
typedef complex<double> E;
int n,m,L;
char ch[maxn];
int R[maxn],c[maxn];
E a[maxn],b[maxn];

void fft(E *a,int f)
{
    rep(i,0,n-1)
        if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            E w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
                E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1)rep(i,0,n-1)a[i]/=n;
}

int main()
{
    n=read();n--;
    scanf("%s",ch);
    rep(i,0,n)a[i]=ch[n-i]-'0';
    scanf("%s",ch);
    rep(i,0,n)b[i]=ch[n-i]-'0';
    m=2*n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    rep(i,0,n-1)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    fft(a,1);fft(b,1);
    rep(i,0,n)a[i]*=b[i];
    fft(a,-1);
    rep(i,0,m)c[i]=(int)(a[i].real()+0.1);
    rep(i,0,m)
        if(c[i]>=10){
            c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;
            if(i==m)m++;
        }
    dep(i,m,0)printf("%d",c[i]);
    return 0;
}