[FFT]快速傅里叶变换

引入

首先，FFT是快速傅里叶变换的简称。傅里叶变换是一个数学中使用的对函数的变换，而离散傅里叶变换顾名思义就是对于离散点的傅里叶变换。
那么，在OI中，傅里叶变换的最大意义，就在于加速向量卷积，即多项式乘法。

多项式乘法

系数表示法

现有两个多项式

$$A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}*x^{i} \quad B(x)=\sum_{i=0}^{n}b_{i}*x^{i}$$
我们这样定义它们的乘法
$$C(x)=\sum_{i=0}^{2n-1}(\sum_{j=0}^{i}a_{j}*b_{i-j})x^{i}=A(x)*B(x)$$
计算它们的乘法，朴素的做法需要 $O(n^2)$的复杂度
我们将上述 $A(x)$中的系数写作一个向量 $A$，这种方法称为系数表示法

点值表示法

现在来考虑另一种方法：点值表示法
设向量$A=(A(x1),A(x2)...A(xn))$则$A$称作$A(x)$的点值表示法
点值表示法有如下性质

性质一
唯一性：一个n维点值与一个n维系数一一对应

性质二

$$C(x)=\sum_{i=0}^{2n-1}(\sum_{j=0}^{i}a_{j}*b_{i-j})x^{i}$$
$$=\sum_{i=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^{i}(a_{j}x^{j})*(b_{i-j}x^{i-j})$$

=