[FFT]快速傅里叶变换

本文详细介绍了快速傅里叶变换(FFT)的概念,包括其在多项式乘法中的应用,系数表示法与点值表示法的转换,以及单位根和蝴蝶变换在FFT中的作用。此外,还探讨了逆离散傅里叶变换和迭代与非迭代的FFT实现方法,展示了如何在O(nlogn)的时间复杂度内完成计算。

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引入

首先,FFT是快速傅里叶变换的简称。傅里叶变换是一个数学中使用的对函数的变换,而离散傅里叶变换顾名思义就是对于离散点的傅里叶变换。
那么,在OI中,傅里叶变换的最大意义,就在于加速向量卷积,即多项式乘法。

多项式乘法

系数表示法

现有两个多项式

A(x)=i=0naixiB(x)=i=0nbixi

我们这样定义它们的乘法
C(x)=i=02n1(j=0iajbij)xi=A(x)B(x)

计算它们的乘法,朴素的做法需要 O(n2) 的复杂度
我们将上述 A(x) 中的系数写作一个向量 A ,这种方法称为系数表示法

点值表示法

现在来考虑另一种方法:点值表示法
设向量 A=(A(x1),A(x2)...A(xn)) A称作 A(x) 的点值表示法
点值表示法有如下性质

性质一
唯一性:一个n维点值与一个n维系数一一对应

性质二

C(x)=i=02n1(j=0iajbij)xi

=i=02n1j=0i(ajxj)(bijxij)

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