线性代数笔记（内积空间，实二次型）

最新推荐文章于 2025-08-15 11:14:14 发布

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这篇博客详细探讨了线性代数中的核心概念——内积空间，从定义到性质，结合实例进行深入剖析。同时，文章还深入介绍了实二次型，包括其矩阵表示、标准形、规范形以及与内积空间的联系，为读者提供了全面的理解和应用指南。

1）几何向量的数量积：A

·B=||A|| ||B||cosθ，也叫点积，内积，注意：数量积是一个数；
2）数量积的四条基本性质：A·B=B·A;(A+B)·C=A·C+B·C;(kA)·B=k(A·B);A·A≥0，且当A=0时等号成立；
3）两个向量数量积等于0的充要条件是它们正交;
4）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的代数和；
5）内积公理：(A,B)=(B,A);(kA,B)=(A,kB);(A+B,C)=(A,C)+(B,C),(A,A)≥0，当且仅当A=0时等号成立；（A,B)表示一个数，实数。
6）欧几里得空间；
7）模||A||=sqrt(A,A),单位向量:||A||≥0，A=0时||A||=0;||kA||=|k|||A||;|(A,B)|<=||A|| ||B||,||A+B||<=||A||+||B||;
8）夹角：A和B的夹角θ=arccons((A,B)/(||A|| ||B||));
9）如果(A,B)=0，则AB正交（垂直）；
10）正交组：一组向量两两正交，就叫正交组；如果正交组的向量模都为1，则叫标准正交组;
11）不含零向量的正交组是线性无关的；标准正交向量组一定线性无关；在n维内积空间V中，任何n个两两正交的非零向量一定构成V的一个基底；向量个数超过n的正交组一定线性相关。
12）正交基，标准正交基
13）在正交基下的坐标可以通过坐标内积计算：ε1,ε2...,εn，为正交基，A=x1ε1+....+xnεn,则xj=(εj,A)/(εj,εj).如果是标准正交基：xj=(εj,A).
14）施密特正交化方法：参见MyMathLib.
15）n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组是标准正交向量组.
16)在Rn中，以任何r个线性无关的列向量为前r列，做一个满秩的矩阵A=（α1，α2...,αr,...,αn),其中ar+1...αn可以取自然基底中的向量，这样A就是Rn的一个基底，再正交化，单位化，就得到Rn的一个标准正交基;
17)实对称矩阵的特征值都是实数；实对称矩阵的属