动态规划解最长上升子序列-优快云博客

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前面看动规解题的一般思路比较抽象，通过一个实例来实际演练一下。

问题描述

例题：最长上升子序列
一个数的序列 a_i，当 a₁ < a₂ < … < a_S 的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁ , a₂ , …, a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1 , a_i2 , …, a_iK )，这里1 <= i1 < i2 < … < iK<= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入数据
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出要求
最长上升子序列的长度。
输入样例
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例
4

问题分析

找子问题
“求序列的前 n个元素的最长上升子序列的长度“是个子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”
假设 F(n) = x，但可能有多个序列满足 F(n) = x 。有的序列的最后一个元素比 a_n+1 小，则加上 a_n+1就能形成更长上升子序列；有的序列最后一个元素不比 a_n+1 小…… 以后的事情受如何达到状态 n 的影响，不符合“无后效性”

换一个子问题
“求以 a_k（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”。一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。
虽然这个子问题和原形式上并不完全一样，但是只要这 N 个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整问题的解。

确定状态：
子问题只和一个变量：数字的位置相关。因此序列中数的位置 k 就是“状态 ”，而状态 k 对应的“值”，就是以 a_k 做为 “终点”的最长上升子序列度。状态一共有 N 个。

找出状态转移方程：
maxLen (k) 表示以 a_k 做为“终点”的最长上升子序列的度，那么：

初始状态：maxLen (1) = 1
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<= i< k 且 a_i< a_k且 k≠1 } + 1
若找不到这样的 i，则 maxLen (k) = 1

maxLen (k) 的值，就是在 a_k 左边，“终点”数值小于 a_k，且长度最大的那个上升子序列的长度再加 1。因为 a_k 左边任何“终点”小于 a_k 的子序列，加上 a_k后就能形成一个更长的上升子序列。

代码实现如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 1010
int a[MAX];
int maxlen[MAX];

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int result = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
		maxlen[i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j < i; j++)
		{
			if (a[i] > a[j])
				maxlen[i] = max(maxlen[i], maxlen[j] + 1);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)//以每个结点为终点的最长子序列的最大值就是结果
		if (maxlen[i] > result)
			result = maxlen[i];
	cout << result << endl;
	return 0;
}