6-汉诺塔问题 (Hanoi)

本文详细解析了汉诺塔问题的求解思路,通过递归算法将问题分解为规模更小的子问题,最终实现盘子从A座移动到C座的全过程。文章通过实例演示了递归过程,帮助读者深入理解递归思想。

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汉诺塔问题(Hanoi)是一个典型的将问题分解为规模更小的子问题进行求解的案例。

1、题目描述

古代有一个梵塔,塔内有三个座A、B、C,A座上有64个盘子,盘子大小不等,大的在下,小的在上(如图)。有一个和尚想把这64个盘子从A座移到C座,但每次只能允许移动一个盘子,并且在移动过程中,3个座上的盘子始终保持大盘在下,小盘在上。在移动过程中可以利用B座,要求输出移动的步骤。
在这里插入图片描述

2、解题分析

把这n个盘子从A座移到C座的问题可以进行分解,分解为三步:1、将n-1个盘子从A挪动到B,2、将剩下的一个盘子从A挪动到C,3、将B上的n-1个盘子挪动到C。

求解过程如下:
如果n=1,则将这一个盘子直接从A柱移到C柱上。
如果n>1,则执行以下3步:

  1. 用C柱做缓冲,将A柱上的(n-1)个盘子移到B柱上。
  2. 将A柱上最后一个盘子直接移到C柱上。
  3. 用A柱做缓冲,将B柱上的(n-1)个盘子移到C柱上。
#include<iostream>
using namespace std;
//将n个盘子从src移动到dest,以mid做中转
void Hanoi(int n, char src, char mid, char dest)
{
	if (n == 1)			//只有一个盘子,直接移动就可以了
	{
		cout << src << "->" << dest << endl;
		return;			//不要忘了递归终止
	}
	Hanoi(n - 1, src, dest, mid);		//先将n-1个盘子从src移动到mid
	cout << src << "->"<<dest << endl;	//再将src上剩下的一个盘子直接移动到dest
	Hanoi(n - 1, mid, src, dest);		//最后将mid上的n-1个盘子移动到dest
}
int main()
{
	int n;		//盘子数量
	cin >> n;
	Hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
	return 0;
}

最后为了加深理解,我们手动的移动一下只有三个盘子的汉诺塔问题。

将三个盘子从 A 移动到 C,可以分解为三个问题,先将两个盘子从 A 移动到 B,再将 A 上剩下的一个盘子移动到 C,最后将 B 上的两个盘子移动到 C。再将分解后的三个问题按照上面的步骤继续进行,直到只有一个盘子时,直接移动即可。
在这里插入图片描述

3、总结

从例子中理解递归的过程,如何将问题分解成规模更小的子问题。

### 关于汉诺塔问题在PTA平台上的解题思路 #### 经典汉诺塔问题概述 经典汉诺塔问题是递归算法中的典型例子。这个问题源自一个古老的印度传说,涉及三根柱子和若干不同尺寸的圆盘。目标是从起始柱将所有圆盘按照相同规则转移到目标柱上,在整个过程中遵循特定约束条件[^3]。 #### 使用额外辅助柱优化转移过程 对于标准版本之外的情况——即引入第四根辅助柱之后,可以显著减少所需步数。传统方法下的最小移动次数为 \(2^n - 1\) ,其中 n 表示圆盘数量;而借助额外的一根柱子,则可以通过更高效的策略实现更快捷的目标达成路径。 #### 动态规划求解方案 考虑到新增加了一个可用资源(即第四根柱),此变种形式允许采用动态规划的方法来进行解答。具体来说,就是利用前几轮已经计算好的最优解来推导当前状态的最佳解决方案。这种方法不仅提高了效率而且简化了逻辑复杂度。 ```python def hanoi_with_extra_rod(n, source='A', target='C', helper1='B', helper2='D'): if n == 0: return [] elif n == 1: return [(source, target)] moves = [] # Move top (n-2) disks from A to B using C and D as helpers. moves += hanoi_with_extra_rod(n-2, source, helper1, helper2, target) # Move the next two largest discs directly between A -> D & D -> C or similar pattern depending on parity of N. moves.append((source, helper2)) moves.append((source, target)) moves.append((helper2, target)) # Finally move remaining (n-2) back onto final destination peg via alternate route involving all three other rods. moves += hanoi_with_extra_rod(n-2, helper1, target, source, helper2) return moves if __name__ == "__main__": print(hanoi_with_extra_rod(4)) # Example with four disks ```
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