19-求排列的逆序数

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例题：求排列的逆序数

题目描述

考虑1,2,…,n (n <= 100000)的排列i₁，i₂，…，i_n，如果其中存在 j，k，满足j < k 且 i_j > i_k，那么就称(i_j,i_k)是这个排列的一个逆序。一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列2，6，3，4，5，1 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。
现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

问题分析

笨办法：O(n²)
分治O(nlogn)：
1）将数组分成两半，分别求出左半边的逆序数和右半边的逆序数
2）再算有多少逆序是由左半边取一个数和右半边取一个数构成(O(n)实现）

关键是左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从小到大排序的。这样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的逆序个数

在这里插入图片描述

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
typedef int ElementType;
long long sum = 0;//逆序数的个数
void MergeSort(int  arr[], int tmp[],int L, int rightend);//归并排序
void MergeAndCountNum(int arr[], int tmp[], int L, int R, int rightend); //归并有序序列并计算逆序数的个数 

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	ElementType *a = (ElementType *)malloc(n*sizeof(ElementType));
	ElementType *tmp = (ElementType *)malloc(n*sizeof(ElementType));
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> a[i];
	MergeSort(a, tmp, 0, n - 1);
	cout << sum << endl;
	free(a);
	free(tmp);
	return 0;
}
//归并排序 
void MergeSort(int a[], int tmp[],int L, int rightend)
{
	if (L < rightend)
	{
		int center = L + (rightend - L) / 2;
		MergeSort(a, tmp, L, center);
		MergeSort(a, tmp, center+1, rightend);
		MergeAndCountNum(a, tmp, L, center + 1, rightend);
	}
}
//归并有序序列并计算逆序数的个数 
void MergeAndCountNum(int a[], int tmp[], int L, int R, int rightend)
{
	int leftend = R - 1;
	int i = L, j = R;
	int k = L;
	while (i <= leftend && j <= rightend)
	{
		if (a[i] < a[j])
			tmp[k++] = a[i++];
		else
		{
			tmp[k++] = a[j++];
			sum = sum + (leftend-i+1);
		}
	}
	while (i <= leftend)
		tmp[k++] = a[i++];
	while (j <= rightend)
		tmp[k++] = a[j++];
	for (i = L; i <= rightend; i++)
		a[i] = tmp[i];
}