本文深入探讨了Black-Scholes-Merton模型及其发现过程，通过动态对冲方法消除不确定性，仅采用可度量变量。详细解释了股价运动的一般维纳过程，以及Ito's Lemma如何为随机微积分提供新视角，最终导出了Geometric Brownian motion股价公式，并展示了如何通过此公式计算诸如y=2S, y=S^2等不同形式的运动过程。
昨天看了一个BBC的纪录片，讲述Black-Scholes-Merton模型发现的过程，对其中如何将无法度量的变量去掉过程印象深刻，比如预期收益率，每个人对它的主观评价是不同的，无法放到公式里面去。因而后来这些天才们是采取了动态对冲的方法，eliminate了不确定性，也和drift rate无关，只采用可以测度的那些变量。
接前，股价运动满足
dS=μSdt+σSdz 的时候，也就是预期收益率运动过程drift rate=
μ, volatility=
σ 的一般维纳过程。
Ito's Lemma为随机微积分打开了一扇窗口。上面的公式中，股价的变动dS表达式中还有一个S，那在任何一个短暂时间内dS还是与S有关，但是这个形式很容易让人联想到dlnS，那么lnS的运动形式是什么呢? Ito用严格的数学证明给出了答案。
具体的过程书中没有给出，应该也比较难，Hull在附录给出了derivation，假设G=f(x,y)是关于x,y的函数，求解dG的时候有一个trick：一般的二元函数泰勒展开后dG只要保留一阶偏导就行了，但这里由于x即S满足
dS=μSdt+σSdz，S自身也和t有关，而且后面dz是一个标准维纳过程，与sqrt(t)成比例，在二阶偏导的x平方项就会成为t，因此不能舍掉。最后将x以dt和dz的形式带入：
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| Picture from Wikipedia |
这样就可以计算dlnS了，最后得到著名的Geometric Brownian motion股价公式:
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| Picture from Wikipedia |
诸如y=2S,y=S^2, y=exp(S), y=exp(r(T-t))/S的运动形式也可以得出来了ʅ(‾◡◝)ʃ。
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