QR分解

最新推荐文章于 2025-11-02 21:59:25 发布
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本文深入探讨了QR分解的三种方法：Gram-Schmidt法、修正Gram-Schmidt法及Givens旋转法。针对不同类型的矩阵，如方阵、非方阵及特定结构的矩阵，详细解析了QR分解的过程及原理，提供了丰富的数学理论与实践指导。

QR分解

对于n阶方阵A，A可逆，则存在完全QR分解，Q为n*n的正交矩阵，R为n*n的上三角矩阵。

对于非方阵的m*n(m≥n)阶矩阵A，A列满秩，存在QR分解,Q为m*n的列正交矩阵，R为n*n的上三角矩阵。

方法一：采用Gram-Schmidt法的QR分解

对于可逆矩阵A的列向量组进行Gram–Schmidt正交化，可得标准正交向量

用矩阵表达即是：

 T=(tij)，A=（），Q=()，这里注意Q是正交矩阵。若记，则A = QR，其中T的逆矩阵R仍然是上三角矩阵

方法二：采用修正Gram-Schmidt法的QR分解

        对于Gram–Schmidt正交化求正交矩阵Q提出一种改进的计算方法，改进的地方是每产生一个单位正交向量后，就用后续的向量减去它，消去其中包含这个正交向量的部分。

       将向量a_1标准正交化的结果取作 q_1，即

       \\R_{11}=||a_1||\\ \\q_1=a_1/R_{11}

       然后从a_2中减去与a_1平行的分量，然后再标准化

       \\R_{12}=q_{1}^Ha_2 \\ \\R_{22}=||a_2-q_1R_{12}|| \\ \\ q_2=(a_2-q_1R_{12})/R_{22}

        其中R_{12}表示a_2在q_1中的投影长度。a_2-q_1R_{12}表示a_2 —（a_2在q_1中的投影矢量)，R_{22}表示a_2-q_1R_{12}的大小，q_2就是a_2对应的标准正交基。

       进而，又从a_3 除去与 a_1和 a_2平行的两个分量，再进行标准正交化

以q_1,q_2,....q_n为列向量的矩阵Q与A之间有下列关系：

A=QR

方法三：采用Givens旋转的QR分解

 Givens旋转也可以用来计算QR分解。以4*3的矩阵为例说明Givens QR分解的思想

参考：https://blog.youkuaiyun.com/u010945683/article/details/45972819

 

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qr分解
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### QR分解的概念与实现方法 QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵乘积的形式。具体而言，任意一个实数方阵 \( A \) 可以被分解为 \( A = QR \)，其中 \( Q \) 是一个正交矩阵（满足 \( Q^TQ = I \)），\( R \) 是一个上三角矩阵[^2]。 #### QR分解的数学定义 对于一个 \( m \times n \) 的矩阵 \( A \)，QR分解的目标是找到两个矩阵 \( Q \) 和 \( R \)，使得： \[ A = QR \] - \( Q \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，其列向量是标准正交的。 - \( R \) 是一个 \( n \times n \) 的上三角矩阵。 #### QR分解的实现方法 QR分解可以通过多种算法实现，常见的包括 Gram-Schmidt 正交化、Householder 变换和 Givens 旋转等方法[^2]。 1. **Gram-Schmidt 正交化** Gram-Schmidt 方法通过逐步构造正交基来实现 QR 分解。假设矩阵 \( A \) 的列向量为 \( a_1, a_2, \dots, a_n \)，则可以按照以下步骤进行： - 初始化 \( q_1 = \frac{a_1}{\|a_1\|} \)。 - 对于每个后续向量 \( a_k \)，从 \( a_k \) 中减去它在之前所有正交向量上的投影，得到新的正交向量 \( b_k \)，然后将其标准化为 \( q_k = \frac{b_k}{\|b_k\|} \)。 - 构造矩阵 \( Q \) 的列向量为 \( q_1, q_2, \dots, q_n \)，并计算 \( R \) 为 \( R = Q^T A \)。 下面是一个基于 Gram-Schmidt 正交化的 Python 实现示例： ```python import numpy as np def gram_schmidt_qr(A): m, n = A.shape Q = np.zeros((m, n)) R = np.zeros((n, n)) for j in range(n): v = A[:, j] for i in range(j): R[i, j] = np.dot(Q[:, i].T, A[:, j]) v = v - R[i, j] * Q[:, i] R[j, j] = np.linalg.norm(v) Q[:, j] = v / R[j, j] return Q, R # 示例矩阵 A = np.array([[12, 9, -4], [7, 4, 5], [6, -3, 21], [6, 15, 8]], dtype=float) Q, R = gram_schmidt_qr(A) print("Q:\n", Q) print("R:\n", R) ``` 2. **Householder 变换** Householder 方法通过构造一系列反射矩阵来实现 QR 分解。这种方法通常比 Gram-Schmidt 更数值稳定。每次反射会将矩阵的一列消去到只剩下一个非零元素，从而逐步形成上三角矩阵 \( R \)。 3. **Givens 旋转** Givens 方法通过构造一系列平面旋转矩阵来实现 QR 分解。每次旋转会将矩阵的一个元素变为零，从而逐步形成上三角矩阵 \( R \)。 #### 数值稳定性与应用 在实际应用中，QR 分解常用于求解线性方程组、最小二乘问题以及特征值计算等问题。由于 Gram-Schmidt 方法可能存在数值不稳定性，因此在需要高精度的情况下，通常推荐使用 Householder 或 Givens 方法[^1]。 --- ###
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