并查集详解附例题

引入

并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。

顾名思义，并查集支持两种操作：

• 合并（Union）：合并两个元素所属集合（合并对应的树）
• 查询（Find）：查询某个元素所属集合（查询对应的树的根节点），这可以用于判断两个元素是否属于同一集合

并查集在经过修改后可以支持单个元素的删除、移动；使用动态开点线段树还可以实现可持久化并查集。

Tips：并查集很难以较低的复杂度分离集合。

初始化

初始时，每个元素都位于一个单独的集合，表示为一棵只有根节点的树。方便起见，我们将根节点的父亲设为自己。

void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        father[i] = i;
}

查询（Find）

普通查询

我们需要沿着树向上移动，直至找到根节点。

int Find(int x)
{
    return father[x] == x? x : Find(father[x]);
}

路径压缩

在查询过程中的每个结点，我们可以将他们直接连接到根结点，大大加快后续查询速度

int Find_(int x)
{
    if(father[x] != x) father[x] = find(father[x]);
    return father[x];
}

压缩后：

合并（Union）

将两个元素和平到一个集合中，体现在数据结构上，就是将两颗子树合并成一颗大树，只需要将其中一颗子树的根结点与另外一颗子树的根节点连接即可

void Union(int x,int y)
{
    father[find(x)] = find(y);
}

启发式合并

合并时，将哪颗子树的根节点作为新的根结点是一个问题，这一步操作会影响后续操作的复杂性，

一般的将结点更小或深度较小的子树连接到另外一颗树上。

（待补充）