2025杭电多校1

2025杭电多校1解题报告

update1:补充1001博弈（才学Anti_Nim）2025-7-24

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1007 树上LCM

题意

给一颗n个结点组成的树，一个数x，每个结点有一个值，问有多少条路径满足该路径的LCM = x, 路径的LCM即路径上所有结点的LCM。
1 <= n <= 3e5, 2 <= x <= 1e7, $a_i$ <= 1e9 。

观察

LCM的性质：$lcm(x_1,x_2,x_3...,x_n)$ = $p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast p_3^{k_3}\ast ...\ast p_m^{k_m}$
其中：$p_i$为质因子，$k_i$为对应的指数最大。
所以路径上的点至少需要满足三个条件。

1. $a_i$对应的价值能整除x。
2. $a_i$进行质因数分解后的指数需要小于等于$k_i$
3. 对任意的i，至少存在一个指数等于$k_i$
   x最大能达到1e7，其质因子个数cnt不超过7个。这个数很小，考虑在这里切入。

思路

那些不能整除x的点，肯定无法形成路径。我们可以拆开这些点，这样会形成一些森林。
设目标lcm x的质因子个数为sz,我们对每个点进行状态压缩: 1 << sz, 其中第i位为1，表示这个点第i个质因子的指数小于$k_i$，其中$k_i$为x分解质因数后对应的指数，为0则表示相等。设$F[i]$表示状态为i的路径数，$S[i]$表示$i\subset 点状态$的点数，易知状态为i的路径个数就是所有$点状态\supset i$的点组成的路径数，对于树上的路径计数，我们可以自然的想到使用并查集维护联通块，联通块上的路径数显然可以利用点的数量$O(1)$求出。
现在我们得到了每个$F[i],0<=i<2^{sz}$。现在可以利用容斥原理求出答案。由容斥原理
$ans={\sum }_{i=1}^{(2^{sz})-1}(-1{)}^{\text{popcount}(i)}\cdot F[i]$

代码

// 树上dp，sosdp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
constexpr int inf = 1e18;
constexpr int mod = 998244353;
constexpr int N = 2e5 + 10;

void solve() {
    int n, x;
    cin >> n >> x;
    vector<vector<int>> adj(n);
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        u--, v--;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }
    vector<int> a(n);
    for(int &x : a) cin >> x;
    vector<int> p, k;
    vector<int> bad(n, 0);
    bool ok = false;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(x % a[i]) {
            bad[i] = 1;
        } else ok = true;
    }
    if(!ok) {
        cout << "0\n";
        return;
    }
    for(int j = 2; j * j <= x; ++j) {
        if(x % j == 0) {
            int cnt = 0;
            while(x % j == 0) {
                ++cnt; x /= j;
            }
            p.push_back(j), k.push_back(cnt);
        }
    }
    vector<int> vis(n, 0);

    if(x > 1) p.push_back(x), k.push_back(1);
    const int sz = (int)p.size();
    const int full = 1LL << sz;
    vector<array<int, 256>> dp(n);
    int ans = 0;
    auto dfs = [&] (auto && self, int u, int fa) -> void {
        vis[u] = 1;
        int now = 0;
        int temp = a[u];
        for(int i = 0; i < sz; ++i) {
            int cnt = 0;
            while(temp % p[i] == 0) temp /= p[i], ++cnt;
            now |= ((cnt == k[i]) * (1LL << i));
        }
        if(now == (full - 1)) ans++;
        dp[u].fill(0);
        dp[u][now] = 1;

        for(int &v : adj[u]) {
            if(v == fa || bad[v]) continue;
            self(self, v, u);

            array<int, 256> sup = dp[u];
            for(int i = 0; i < sz; ++i) {
                for(int j = 0; j < full; ++j) {
                    if(!(j & (1 << i))) sup[j] += sup[j | (1 << i)];
                } 
            }
            for(int i = 0; i < full; ++i) {
                int need = (full - 1) ^ i;
                ans += sup[need] * dp[v][i];
            }
            for(int i = 0; i < full; ++i) {
                dp[u][i | now] += dp[v][i];
            }
        }
    };
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(!bad[i] && !vis[i]) dfs(dfs, i, -1);
    }
    cout << ans << '\n';
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while(t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

提供一种莫比乌斯反演的方法

设$g(x):lcm=x$的路径数，$f(x):lcm|x$的路径数。显然有
$$f(x)=\sum _{d|x}g(d)$$
通过莫比乌斯反演有:$$g(x)=\sum _{d|x}\mu (d)\ast f(\frac{x}{d})$$
显然f(x)的数量可以通过dfs $O(n)$求出，发现1e7内的因子个数k不超过200，我们可以预处理出1e7内的莫比乌斯函数，对于每个因子d，$O(n)$计算$f(d)$，复杂度为$O(kn+N)$可以接受。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
constexpr int inf = 1e18;
constexpr int mod = 998244353;
constexpr int N = 1e7;
// 设g(x): lcm = x的路径，f(x): lcm整除x的路径。
// 显然f(x) = 1 * g(x)
// 则 g(x) = µ * f(x)
// 线性筛预处理莫比乌斯函数µ即可.
int mu[N + 1], minp[N + 1], p[N + 1];
int cnt = 0;
void init() {
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= N; ++i) {
        if(!minp[i]) p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
        for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= N; ++j) {
            minp[i * p[j]] = p[j];
            if(i % p[j] == 0) {
                mu[i * p[j]] = 0;
                break;
            }   
            mu[i * p[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
void solve() {
    int n, x;
    cin >> n >> x;
    vector<vector<int>> adj(n);
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        u--, v--;
        adj[u].push_back(v), adj[v].push_back(u);
    }
    vector<int> a(n);
    for(int &x : a) cin >> x;
    vector<int> ok(n);
    vector<int> siz(n);
    int res = 0;
    auto dfs = [&](auto &&self, int u, int fa) -> void {
        siz[u] = ok[u];
        for(int v : adj[u]) {
            if(v != fa) self(self, v, u), siz[u] += siz[v];
        }
        if(ok[u] && (fa == -1 || !ok[fa])) res += siz[u] * (siz[u] + 1) / 2;
        if(!ok[u]) siz[u] = 0;
    };
    auto cal = [&](int y) -> int {
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            ok[i] = (y % a[i] == 0);
        }
        res = 0;    
        dfs(dfs, 0, -1);
        return res;
    };
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= x; ++i) {
        if(x % i == 0 && mu[i]) {
            ans += mu[i] * cal(x / i);
        }
    }
    
    cout << ans << '\n';
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    init();
    int t = 1;
    cin >> t;
    while(t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

1001 博弈

前置知识：Nim和anti_Nim
我们记$T={⨁}_{i=1}^n{x}_i$
对于Nim游戏有：若$T=0$则必败，否则必胜。
对于anti_Nim游戏分两种情况：
如果所有堆全部为1，则奇败偶胜。
至少有一堆大于1，则$T=0$必败，否则必胜。

题意

给$n$个房间，每个房间有$k$堆石头，具体的每一堆有$k_i$堆石头，$Alice,Bob$可以轮流在任意房间取第任意堆的任意个石头，最后无法取石头的输掉游戏。规定必须在一个房间取完才可以去另外一个房间取，$Alice,Bob$都以最优状态取，但是$Alice$ 可以规定房间顺序，问有多少种房间的排列让$Alice$必胜，答案对1e9 + 7取模。

Hint1：先弱化问题，考虑所有房间的所有堆都只有1个石头，这个问题比较显然。我们定义奇数房间为有奇数个堆的房间，反之亦然。当有奇数个奇数房间时，必胜，反之必败。
Hint2：偶数房间显然对答案没有影响，因为这不会反转先后手。
Hint3：现在考虑存在房间里面至少有一个多于一个石头的堆。这个是否会对先后手反转有一定影响？

题解

全为1的情况已经判完。现在考虑不全为1的同时不考虑偶数房间，因为它对答案没有影响我们可以随便放。有两种可能一个是$T=0$的房间，我们定义这种房间为坏房间，反之为好房间。如果我们碰到的第一个不全为1的房间为好房间，我们发现无论是Nim还是anti_nim，它都是必胜的，即先手可以决定后面的出手顺序，这就是必胜态，故它前面的奇数房间不能反转出手顺序，即前面只能有偶数个奇数房间。反之，如果我们碰到的第一个不全为1的房间为坏房间，我们发现无论是Nim还是anti_nim，它都是必败的，即后手可以决定后面的出手顺序，这就是必败态，故它前面的奇数房间必须要反转出手顺序，即前面得有奇数个奇数房间来进行反转。
我们考虑枚举前面有多少个奇数房间统计答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
constexpr int inf = 1e18;
constexpr int mod = 1e9 + 7;
constexpr int N = 1e6 + 10;
int qpow(int base, int index) {
    int res = 1;
    while(index) {
        if(index & 1) res = res * base % mod;
        base = base * base % mod;
        index >>= 1;
    }
    return res;
}
int f[N];
void fac() {
    f[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; ++i) {
        f[i] = i * f[i - 1] % mod;
    }
}
int comb(int x, int y) {
    return f[x] * qpow(f[y], mod - 2) % mod * qpow(f[x - y], mod - 2) % mod;
}
void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    array<int, 4> cnt = {};
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        int k; cin >> k;
        bool ok = true;
        int s = 0;
        for(int j = 0; j < k; ++j) {
            int x; cin >> x;
            s ^= x;
            if(x > 1) ok = false;
        }
        if(ok) {
            if(s) cnt[0]++;
            else cnt[1]++;
        } else {
            if(s) cnt[2]++;
            else cnt[3]++;
        }
    }
    if(cnt[0] + cnt[1] == n) {
        if(cnt[0] & 1) {
            cout << f[n] << '\n';
        } else cout << "0\n";
        return ;
    }
    // 放多少个奇数在前面
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i <= cnt[0]; ++i) {
        int temp = 1;
        if(i & 1) {
            temp = f[i] * comb(cnt[0], i) % mod * cnt[3] % mod;
            temp = temp * f[cnt[2] + cnt[3] - 1 + cnt[0] - i] % mod;
        } else {
            temp = f[i] * comb(cnt[0], i) % mod * cnt[2] % mod;
            temp = temp * f[cnt[2] + cnt[3] - 1 + cnt[0] - i] % mod;
        }
        ans = (ans + temp) % mod;
    }
    // 偶数随便放。
    for(int i = 1; i <= cnt[1]; ++i) {
        ans = (ans * (n - cnt[1] + i)) % mod;
    }
    cout << ans << '\n';
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    fac();
    int t = 1;
    cin >> t;
    while(t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}