机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化

最新推荐文章于 2025-04-22 15:56:14 发布

西涯先生

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分类专栏：机器人基础技术

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Hello，欢迎做客我的博客！
在动力学仿真中，我们不得不采用迭代的方法进行数值计算，这个时候我们会用到离散化的数学模型。
可是，我们在建立模型时，考虑的都是连续的情况，那么如何将一个连续的模型转换为离散模型呢？
这篇文章将告诉你答案。

1 模型表示方法

1.1 连续模型

$\begin{aligned} \dot{X}&=AX+BU\\ Y&=CX+DU \end{aligned}$

1.2 离散模型

$\begin{aligned} {X}\left[ (k+1)\Delta T\right] &=GX[k\Delta T]+HU[k\Delta T]\\ Y\left[ (k+1)\Delta T\right]&=CX[k\Delta T]+DU[k\Delta T] \end{aligned}$
其中， $\Delta T$ 是采样周期。注意，由于输出方程本身就不是微分方程，所以不需要进行离散化，离散系统和连续系统的系数矩阵相同。

2 离散化方法

2.1 精确离散化方法

离散化的主要目标就是要保证离散化后的系统特性不变，具体而言，我们期望离散化后的系统和连续系统的系统状态 $X$ 在 $t=k\Delta T$ 的时刻下保持一致。
基于此思想，我们可以推导出离散化方法。

第一，连续模型的解可以表示为：

$X(t)=\Phi(t-t_0)X(t_0)+\int_{t_0}^{t}\Phi(t-\tau)BU(\tau) \ d\tau$

第二，取 $t_0=k\Delta T$ ， $t=(k+1)\Delta T$ ，由于我们希望离散化后的系统和原系统在 $t_0$ 和 $t$ 时刻的系统状态相等，因此我们将二者代入上式，可到离散化系统的方程：
$X[(k+1)\Delta T]=\Phi(\Delta T)X[k\Delta T]+\int_{k\Delta T}^{(k+1)\Delta T}\Phi(k\Delta T-\tau)BU[k\Delta T]\ d\tau$
其中， $\Phi(t)=e^{At}$ 。此外，在 $[k\Delta T,(k+1)\Delta T]$ 期间，控制量不变，为 $U[k\Delta T]$ 。

第三，令 $z=(k+1)\Delta T-\tau$ ，代入上式可得：
$X[(k+1)\Delta T]=\Phi(\Delta T)X[k\Delta T]+\int_{0}^{\Delta T}\Phi(z)B\ dz \cdot U[k\Delta T]$

第四，取 $G=\Phi(\Delta T)$ ， $H=\int_{0}^{\Delta T}\Phi(z)B\ dz$ ，可得离散系统方程为：
$X[(k+1)\Delta T]=GX[k\Delta T]+H U[k\Delta T]$

以上离散化方法被称之为精确离散化方法，与此相对的我们在实际应用中还常常用到一种近似离散化方法。

2.2 近似离散化方法

这种离散化方法的主要思想是用差分来代替微分，即：
$\dot{X}[k\Delta T]=\frac{X[(k+1)\Delta T]-X[k\Delta T]}{\Delta T}=AX[k\Delta T]+BU[k\Delta T]$
于是，有：
$X[(k+1)\Delta T]=(I+A\Delta T)X[k\Delta T]+(B\Delta T)U[k\Delta T]=GX[k\Delta T]+HU[k\Delta T]$

2.3 两种离散化方法的联系

事实上，精确方法是近似方法的推广，精确法甚至可以用到时变系统中。因此，我们通过某种简化，就可以把精确方法转换为近似方法。

我们知道：
$\Phi(t)=e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+...$

把上式代入表达式 $G=\Phi(\Delta T)$ ， $H=\int_{0}^{\Delta T}\Phi(z)B\ dz$ ，可得：
$G=\Phi(\Delta T)=I+A{\Delta T}+\frac{1}{2!}A^2{\Delta T}^2+...$
$\begin{aligned} H&=\int_{0}^{\Delta T}\Phi(z)B\ dz\\ &=\int_{0}^{\Delta T}I+Az+\frac{1}{2!}A^2z^2+...\ dz \cdot B\\ &=({\Delta T}+\frac{1}{2}A{\Delta T}^2+....)\cdot B \end{aligned}$