显著性水平与p值的区别

显著性水平与$p$值的区别

1、定义

显著性水平：所能接受的发生第一类错误的最大概率
$p$值：由检验统计量的样本观察值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平

分析：显著性水平越小则原假设更难被拒绝，接受域更大（极端情况$\alpha \to 0$则原假设必然被接受而无法被拒绝)；而$p$值可以理解为当原假设为真时，比得到的样本观察值结果更极端的结果出现的概率，故当$p$值越小时，表明出现样本及比此时样本值更极端的概率越小，说明此时抽取的样本本身是极端的，由小概率事件定理可以充分的拒绝原假设，故当$p$值越小时更容易拒绝原假设。

2、计算步骤

设总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$,$\mu$未知，${\sigma }^2=100$,现有样本$x_1,x_2,\dots ,x_{52}$,算得$\bar{x}=62.75$现在检验假设
$$H_0:\mu \le {\mu }_0=60,H_1:\mu >{\mu }_0=60$$

• 临界值法：（$\alpha =0.05$)
  由$\mu$未知，${\sigma }^2$已知得采用$U$检验
  故令$U=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$,则P{U≥u1−α}<αP\{U\ge u_{1-\alpha}\}<\alphaP{U≥u1−α​}<α,即此时拒绝域为$U\ge u_{1-\alpha }$
  而$u=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{62.75-60}{10/\sqrt{52}}=1.983$而$u_{0.95}=1.645\le u$故落入拒绝域，即在显著性水平为0.05时拒绝原假设，即$\mu >{\mu }_0=60$
• $p$值法：（$\alpha =0.05$)
  采用$Z$检验法，故令$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$代入样本值得$z=\frac{62.75-60}{10/\sqrt{52}}=1.983$
  故p=P{Z≥z}=P{Z≥1.983}=1−Φ(1.983)=0.0238p=P\{Z\geq z\}=P\{Z\geq1.983\}=1-\Phi(1.983)=0.0238p=P{Z≥z}=P{Z≥1.983}=1−Φ(1.983)=0.0238

上式计算p值的过程充分地展示了$p$值可以理解为当原假设为真时，比得到的样本本身或观察值结果更极端的结果出现的概率的原因，在这里更极端可以理解为$\mu$愈来愈大于${\mu }_0$，同时比$z$更极端，也即P{Z>z}=P{Z≥1.983}P\{Z>z\}=P\{Z\geq1.983\}P{Z>z}=P{Z≥1.983}

通过图形分析,当$\alpha >p$时$p$会落入拒绝域，而当$\alpha <p$时$p$未落入拒绝域，因此在该问题中应当拒绝原假设故在显著性水平为0.05时拒绝原假设，即$\mu >{\mu }_0=60$

3、区别

• 由上面的步骤易得显著性水平$\alpha$是人为给定的是主观的是可以变动的，而$p$值是由样本值和总体分布计算得出相较而言更客观更加的固定。
• $p$值另一定义：由检验统计量的样本观察值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平，要拒绝原假设便要使得$\alpha >p$,因此在拒绝原假设的情形中$p$是$\alpha$变动的下界,在上题中$\alpha =0.03,0.04$等大于0.0238的数值都可以得到拒绝原假设的结论，当$\alpha =0.01$时，此时便可接受原假设，但同时接受域也变大，更容易接受。
• 在采用$p$值法时可以得到更多关于拒绝域的信息，更加精确，也即是$p$作为最小显著性水平所决定的。