codeforces 23E 树形DP

本文探讨如何在树结构中通过切断某些边,使得剩下的每个连通块的点数乘积达到最大值,并详细解释了贪心和背包两种算法策略。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目链接

给你一棵树,让你切断一些边,使得剩下的每个连通块的点的个数的乘积最大,输出这个乘积。

n <= 700

首先,答案肯定要用高精度保存。。。。

可以贪心,也可以背包。

随便画一画可以发现剩下的连通块中,不会有某块包含长度>=3的路径,因为可以找到中间的那条边切断,使得这个路径分成两段a 和 b   (a>=2 ,b >=2), a*b>=a+b

根据这个推论 , 可以分三种情况

1:以u为根 ,且u与所有的儿子隔开

2::u与一些儿子相连,儿子们与孙子们都是断开的,不然就会有>=3的路径出现

3:u与某个儿子相连,然后这个儿子与一些孙子相连,再往下都是断开的

假设h[i]为以i为子树的答案    f[i]为 Πhj ,j是i的儿子

那么对于第一种情况,答案为f[u],第二种情况的话u需要连接上一些子树,连接某个儿子v的代价是f[u] / h[v] * f[v],所以如果只连接一个儿子,肯定就选f[v]/h[v]最大的那个儿子,因此可以先将所有的f[v]/h[v]排序,枚举一遍就好了。

第三种情况与第二种类似。。。。

如果用背包做的话状态大概是这样的dp[i][j] 表示以i为根的子树连接了j-1个儿子的最大乘积,(即i所在连通块有j个点)。转移的时候是最普通的那种转移,不过这种做法显然没有注意到上面的推论。。。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        InputStream inputStream = System.in;
        OutputStream outputStream = System.out;
        InputReader in = new InputReader(inputStream);
        PrintWriter out = new PrintWriter(outputStream);
        AC solver = new AC();
        solver.solve(in, out);
        out.close();
    }
}

class AC {
    class Node {
        BigInteger h, f;
    }
    Comparator<Integer> cmp = new Comparator<Integer>() {
        public int compare(Integer a,Integer b) {   
            return dp[b].f.multiply(dp[a].h).compareTo(dp[a].f.multiply(dp[b].h));
        }
    };
    ArrayList<Integer> edge[] = new ArrayList[710];
    Node dp[] = new Node[710];
    int size[] = new int[710];
    void dfs(int u, int f,PrintWriter out) {
        dp[u].f = dp[u].h = BigInteger.ONE;
        size[u] = 1;
     // case 1 : u's component is only u
        for(int v:edge[u]) { 
            if(v == f) continue;
            dfs(v,u,out);
            dp[u].f = dp[u].f.multiply(dp[v].h);
            size[u] += size[v];
        }
        Collections.sort(edge[u],cmp);
     // case 2 : u is with some of its children
        dp[u].h = dp[u].f;
        BigInteger cur;
        cur = dp[u].f;
        int son = 0; 
        for(int v:edge[u]){
            if(v==f) continue;
            son ++;
            cur = cur.divide(dp[v].h).multiply(dp[v].f);
            BigInteger tmp = cur.multiply(BigInteger.valueOf(son+1));
            if(tmp.compareTo(dp[u].h) > 0) dp[u].h = tmp;
        }
     // case 3: u is with only one of its children and some children's children        
        for(int v :edge[u]) {
            if(v==f) continue;
            cur = dp[u].f.divide(dp[v].h).multiply(dp[v].f);
            son = 0;
            for(int w : edge[v]) {
                if(w == u) continue;
                son++;
                cur = cur.divide(dp[w].h).multiply(dp[w].f);
                BigInteger tmp = cur.multiply(BigInteger.valueOf(son+2));
                if(tmp.compareTo(dp[u].h) > 0) dp[u].h = tmp;
            }
        }
 
    }
    public void solve(InputReader in, PrintWriter out) { 
        int n, a, b;
        n = in.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            edge[i] = new ArrayList<Integer>();
            dp[i] = new Node();
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            a = in.nextInt();
            b = in.nextInt();
            edge[a].add(b);
            edge[b].add(a);
        }
        dfs(1,0,out);
        out.println(dp[1].h);
    }
}

class InputReader {
    BufferedReader reader;
    StringTokenizer tokenizer;

    public InputReader(InputStream stream) {
        reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(stream));
        tokenizer = null;
    }

    public String next() {
        while (tokenizer == null || !tokenizer.hasMoreTokens()) {
            try {
                tokenizer = new StringTokenizer(reader.readLine());
            } catch (IOException e) {
                throw new RuntimeException(e);
            }
        }
        return tokenizer.nextToken();
    }

    public int nextInt() {
        return Integer.parseInt(next());
    }

    public double nextDouble() {
        return Double.parseDouble(next());
    }

    public long nextLong() {
        return Long.parseLong(next());
    }
}


<think>好的,我现在需要处理用户关于Codeforces题型总结和解题技巧的请求。首先,回顾之前的对话历史,用户之前询问了ACM学习路线,我给出了分阶段的学习计划和资源推荐。现在用户转向Codeforces的具体题型和解题技巧,这表明他们可能正在准备竞赛,需要更针对性的策略。 首先,我需要确定用户的需求。用户想要的是Codeforces平台上各类题型的分类总结以及对应的解题思路。他们可能希望了解常见的题型类别,每个类别的特点,以及解决这些题目的常用技巧和算法。此外,用户可能还希望得到一些具体的例题和代码示例,以便更好地理解和应用这些技巧。 接下来,我需要参考用户提供的引用内容。引用[1]中提到了算法基础,包括复杂度分析、递归、分治、贪心、排序、前缀和、差分、二分、三分、倍增等。这些内容在Codeforces题目中确实常见,因此需要将这些算法和技巧与具体的题型对应起来,进行分类归纳。 我需要确保回答结构清晰,分点列出各个题型类别,每个类别下包括题型特点、解题技巧、例题及解析。同时,按照用户之前的要求,使用中文回答,行内数学公式用$...$,独立公式用$$...$$,并正确使用LaTeX语法。此外,需要生成相关问题,并在适当的地方添加引用标识。 在整理题型时,要覆盖Codeforces常见的题目类型,如贪心、动态规划、图论、数论、数据结构、构造题、二分/三分、字符串处理、计算几何等。每个类别需要简要说明其特点,解题时的常用方法,并举出具体的题目例子,最好附上题目编号,方便用户查找练习。 同时,要注意结合用户之前的学习路线,推荐相关的资源,比如《算法竞赛入门经典》中的例题,或者在线平台如Codeforces本身的训练建议。此外,可能需要提到一些实战技巧,比如如何快速识别题型、如何优化代码等。 需要避免的是过于泛泛而谈,要尽量具体,给出实际可操作的技巧。例如,在贪心题中,可以提到邻项交换法或后悔法的具体应用;在动态规划中,强调状态设计和转移方程的优化方法。对于每个技巧,最好能对应一个例题,说明如何应用该技巧解决问题。 另外,考虑到用户可能需要代码示例,可以在适当的位置插入简短的代码片段,如动态规划或二分的典型实现,但需注意代码的准确性和简洁性,避免冗长。 最后,生成的相关问题需要围绕用户可能的后续疑问展开,比如如何提高刷题效率,特定题型的深入分析方法,或者推荐Codeforces上的训练计划等。这些问题应自然延伸当前主题,帮助用户进一步探索。 现在,需要检查是否覆盖了用户的所有需求,是否结构清晰,是否引用了之前的资源(如引用[^1]),并确保所有数学公式的正确格式。同时,确保回答真实可靠,基于常见的竞赛知识和经验,避免错误的信息。</think>### Codeforces题型总结与解题技巧分类指南 #### 一、高频核心题型分类 1. **贪心算法** - **题型特点**:决策序列中局部最优选择可推导全局最优解,常见于区间调度、资源分配问题 - **解题技巧**: - 邻项交换法(证明交换后更优):如$n$个数的最大拼接问题(CF 1385B) - 后悔法(优先队列维护候选集):CF 1526C(药水选择) ```cpp // 后悔法模板 priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq; for(int x : arr){ sum += x; pq.push(x); while(sum < 0){ sum -= pq.top(); pq.pop(); } } ``` - 时间轴处理:CF 1481C(栅栏涂色时序处理)[^1] 2. **动态规划** - **状态设计模式**: - 线性DP:$dp[i]$表示前$i$个元素的最优解(CF 474D 花朵问题) - 状态压缩DP:用位运算表示集合状态(CF 580D 美食家问题) - 树形DP:结合DFS遍历处理子树关系(CF 1092F 树权值分配) - **优化技巧**: - 斜率优化:维护凸包降低时间复杂度至$O(n)$(CF 319C 木材切割) - 滚动数组:空间复杂度优化至$O(1)$(CF 1114D 颜色填充) 3. **图论算法** - **高频考点**: | 算法类型 | 应用场景 | 例题 | |----------------|-----------------------------------|----------------| | 拓扑排序 | 任务调度/依赖解析 | CF 1385E | | 强连通分量 | 缩点处理环结构 | CF 427C | | 网络流 | 二分图匹配/资源分配 | CF 1139E | | 最短路变形 | 分层图/边权特殊处理 | CF 1473E | 4. **数论问题** - **核心工具**: - 欧拉定理:处理模指数运算(CF 615D 质因子乘积) - 中国剩余定理:同余方程组求解(CF 687B) - 莫比乌斯反演:统计互质对数量(CF 547C) - **特殊技巧**: $$ \sum_{d|n}\mu(d) = \begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases} $$ 用于快速计算GCD相关问题 #### 二、特征题型专项突破 1. **构造题(Constructive Algorithms)** - **识别特征**:输出满足特定条件的结构而非数值结果 - **经典解法**: - 奇偶性构造:CF 1421B(矩阵路径奇偶性) - 平衡分配法:CF 1343D(调整数组使对称元素相等) - 极端值构造:CF 1375E(通过逆序操作排序数组) 2. **交互题(Interactive Problems)** - **解题框架**: ```python low, high = 1, 1e18 while low <= high: mid = (low + high) // 2 print(f"? {mid}") response = input() if response == ">=": low = mid + 1 else: high = mid - 1 print(f"! {high}") ``` - **注意事项**: - 刷新输出缓冲区(C++用`cout << endl`) - 错误处理:CF 1520F2(二进制猜数容错机制) 3. **数据结构题** - **题型矩阵**: | 数据结构 | 适用场景 | 优化技巧 | |----------------|-------------------------------|---------------------------| | 线段树 | 区间查询/更新 | 延迟标记(lazy propagation)| | 并查集 | 连通性检测 | 路径压缩+按秩合并 | | 字典树 | 前缀匹配统计 | 二进制位处理 | | 单调队列 | 滑动窗口最值 | 淘汰非最优候选 | #### 三、实战技巧体系 1. **复杂度预判法**: - 输入规模$n$与可接受时间复杂度对应表: $$ \begin{array}{c|c} n \leq 10^6 & O(n) \\ n \leq 10^5 & O(n \log n) \\ n \leq 10^4 & O(n^2) \\ n \leq 20 & O(2^n) \\ \end{array} $$ 2. **Debug技巧**: - 边界测试:$n=0,1$等极端情况 - 对拍验证:生成随机数据与暴力程序对比 - 输出中间状态:使用`cerr`输出调试信息 3. **代码模板管理**: - 建议维护以下模板库: ```text /templates ├── graph │ ├── dijkstra.cpp │ └── tarjan_scc.cpp ├── math │ ├── matrix_fastpow.cpp │ └── fft_template.cpp └── ds ├── segment_tree.cpp └── union_find.cpp ``` #### 四、经典例题解析 1. **CF 1485D - Multiples and Power Differences** - **题型**:构造题+数论 - **关键思路**: 构造矩阵元素$a_{i,j} = 720720 + (i+j)\%2 \times (a_{i,j}^4)$ 保证相邻元素差为四次方数 2. **CF 1513C - Add One** - **解法**:动态规划预处理 定义$dp[d][m]$表示数字$d$经过$m$次操作的位数 状态转移: $$ dp[d][m] = \begin{cases} 1 & m=0 \\ dp[1][m-1] + dp[0][m-1] & d=9 \\ dp[d+1][m-1] & otherwise \end{cases} $$
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