【C++】超详细！数据结构——树（一、树和二叉树Ⅰ）

合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。

树与二叉树Ⅰ

1 树基本概念
- - 1.1 术语介绍
2 二叉树

1 树基本概念

1.1 术语介绍

1、每个元素叫节点node.
2、最顶上的节点叫树根root.
3、大树的一部分可以看作一棵小树，叫子树（一般用T来表示）.
4、连着一个结点的上一层结点叫这个点的前驱，同样地，连着它的下（后）面的点叫后继；在一棵树中，除树根之外的任一一个节点只有一个前驱，但是可以有很不多不同的后记，而树根没有前驱.
5、一个结点后继的个数被称为它的度degree，而度数为0的点叫做树叶leaf，它们处在最后一层，是光的.
6、一棵树上根节点的层次level或layer为0（有时也会是1，看题目或实际情况需要），所有结点的层次的最大值为这棵树的深度depth，也叫高度height.
7、一个结点的子树的根节点是这个结点的孩子结点，而这个结点是它的孩子结点的父亲结点，与这个结点层次相同的是它的兄弟结点；比这个结点层次高的是它的子孙结点，反之，比他层次低的是它的祖先节点.（层次高，地位低；层次低，地位高）
8、一棵子树上的任意两点都是直接或间接相邻的，也就是说，从一个结点到另一个结点都有一条路径，这个路径的长度便是两点层次之差，也就是这条路径上点的个数-1.
9、许多不相交的树组在一起便形成了森林forest，而没有结点的树叫空树.
一棵简单的树
e.g.如上图，不难发现，根结点为A（树根），A的度数为2，它的后继是B和C，点B，D和E为树叶；A与E在同一棵子树上，它们之间的路径为（A, C, E），A层次为0，E层次为2，路径上有3个点，显然，路径长度为2.

2 二叉树

多叉树存储与基本操作与二叉树类似

2.1 二叉树的递归定义

递归定义详细内容如下：
#1、二叉树没有根节点，成为一棵空树.
#2、二叉树若不是空树，则它由树根、左子树、右子树构成，并且左子树与右子树也是二叉树.
重复1、2两步，直到所有分支都到了1.
如下图，A、B、C、D、E都是二叉树
叫它递归定义是因为它在用自身定义自身，就像在一个函数里调用这个函数一样；类似地，它也有一个递归边界和递归式，那么定义中，#1就是递归边界，#2是递归式.
说得再通俗一点：对于一个点，它有父亲结点，也有祖父结点，甚至于曾祖父结点；那么，按照递归定义，祖父节点就是父亲节点的父亲结点，曾祖父结点就是父亲结点的父亲结点的父亲结点；同理，它的儿子结点就是它的孙子结点的父亲结点，依此类推.

2.2 简单而特殊的二叉树

五个二叉树

2.2.1 满二叉树

术语定义：每一层的结点个数都达到了当层能达到的最大结点数.
白话定义：满满当当，不增加层数的情况下不能再加点的树.
图E就是一棵满二叉树，但其它几个图不是.

2.2.2 完全二叉树

定义：不看最后一层，这个二叉树是满二叉树；最后一层中，结点从左至右并且连续一字排开，但不要求排满；也就是说，最后一层最左边要有一个结点，最后一层的结点是连续不断的.
如图D、E是完全二叉树，但其它几个图不是.

2.3 二叉树的存储结构与基本操作

2.3.1 二叉树的存储与创建

这里，我们用链表来存储二叉树，先上代码：

struct node {
   
   
	typename data;    //数值域，typename为任意类型
	node* lchild;     //指向左子树树根的指针
	node* rchild;     //指向右子树树根的指针
};
node* root = NULL;    //最开始是一个空树

上述结构体中，在node中又定义了node，这就是递归的体现.
上面的代码仅仅是存储的容器的类型，下面，我们就要新建一个容器，并向容器里填充树.
让我们先建立一个初始的根节点：

//生成一个新结点，v为结点权值
node* nowRoot(typename v) {
   
   
	node* Node = new node;      //申请一个node类型的地址空间，创建一棵树
	Node->data = v;          //结点权值为v
	Node->lchild = Node->rchild = NULL;     //初始状态下没有左右孩子
	return Node;              //返回新结点地址
}

这样，我们就完成了一个树根的创建，也就完成了一个树的创建.

2.3.2 二叉树的查找与修改

这是新建结点的前提
先上代码：

void change(node* root, typename x, typename newdata) {
   
   
	if(root == NULL)         //递归边界，到空树就回溯
		return;
	
	if(root->data == x) {
   
        //找到了，改掉
		root->data = newdata;
	}
	
	//递归式
	search(root->lchild, x, newdata);     //搜左孩子
	search(root->rchild, x, newdata);     //搜右孩子
}

2.3.3 二叉树插入结点与创建

先是插入结点：

//insert函数将在二叉树中插入一个数据域为X的新结点
//注意根结点指针root要使用引用，否则插入不会成功
void insert(node* &root, int x) {
   
   
	//递归边界，如是碰到了树叶（死胡同），就插入
	if(root == NULL) {
   
   
		root = nowNode(x);
		return;