计算几何（2）_if(used[i])continue;-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hacker__man/article/details/124282585

本文介绍了如何使用Graham和Andrew算法求解二维平面上点集的凸包，并提供了C++实现。通过排序和栈的数据结构，逐步构建并更新凸包。同时，讨论了代码中的关键点和优化技巧，包括处理特殊情况和计算周长的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

计算几何（2）

2022年4月18日21:31:04

求凸包（围住所有点的周长最小的，面积不一定最小的多边形）的算法。

Graham算法

Andrew算法 $O (n l o g n)$

将点排序，x 为第一关键字，y 为第二关键字。瓶颈
从左到右维护凸多边形的上半部分，再从右至左维护下半部分。（使用栈维护）
对于一个顺时针方向的凸多边形，先将最开始的两个点加入栈中，从第三个点开始判断，判断当前点和栈中点组成的直线的延长线的关系，如果待加入点在直线的延长线的左边（逆时针），将栈顶出栈，再进行判断，直到待加入点在直线延长线的右边，然后将点加入栈中，最后再用起点更新栈。

尝试自己手撸一个。

2022年4月19日14:28:13

手撸失败，学习y总代码。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<cassert>
#define fo(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);i++)
#define fo_(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);i++)
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define pb push_back
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
const int M = 510*510;
const double inf = 1e8;
typedef long long ll;
#define xx first
#define yy second

typedef pair<double,double> PDD;
typedef pair<double,double> Vector;
PDD a[N];
int n,stk[N],top;
bool used[N];

double cross(double x1,double y1,double x2,double y2){//第一个点叉积第二个点
    return x1*y2-x2*y1;
}
double dis(Vector A,Vector B){
    return sqrt((A.xx-B.xx)*(A.xx-B.xx)+(A.yy-B.yy)*(A.yy-B.yy));
}
int main(){
    cin>>n;
    fo(i,1,n){
        cin>>a[i].xx>>a[i].yy;
    }

    sort(a+1,a+n+1,[&](PDD a,PDD b){
        if(a.xx==b.xx)return a.yy>b.yy;
        return a.xx<b.xx;
    });
    
    stk[++top]={1};
    stk[++top]={2};
    used[1]=used[2]=1;
    fo(i,3,n){
        Vector C = a[i];    
        while(top>1){// 凸包集合中至少要有一个点。
            Vector B = a[stk[top]];
            Vector A = a[stk[top-1]]; 
            if(cross(C.xx-A.xx,C.yy-A.yy,B.xx-A.xx,B.yy-A.yy) < 0){
                used[top]=false;
                top--;
            }
        }
        stk[++top]=i;
        used[i]=true;
        break;
    }
    
    for(int i=n;i>=2;i--){
        if(used[i])continue;
        Vector C = a[i];    
        while(top>1){// 凸包集合中至少要有一个点。
            Vector B = a[stk[top]];
            Vector A = a[stk[top-1]]; 
            if(cross(C.xx-A.xx,C.yy-A.yy,B.xx-A.xx,B.yy-A.yy) < 0){
                used[top]=false;
                top--;
            }
        }
        stk[++top]=i;
        used[i]=true;
        break;
    }
    // 特判第一个点
    Vector C = a[1];   
    while(1){
        if(top>1){// 凸包集合中至少要有一个点。
            Vector B = a[stk[top]];
            Vector A = a[stk[top-1]]; 
            if(cross(C.xx-A.xx,C.yy-A.yy,B.xx-A.xx,B.yy-A.yy) < 0){
                used[top]=false;
                top--;
            }
        }
        stk[++top]=1;
        used[1]=true;
        break;
    }
    
    
    // fo(i,1,n){
    //     if(used[i]){
    //         cout<<i<<" ";
    //     }
    // }
    // cout<<endl;
    
    bool flag=0;
    int last,first;
    double res=0;
    fo(i,1,n){
        if(!used[i])continue;
        if(!flag){
            flag=1;
            last = i;
            first = i;
            continue;
        }
        res+=dis(a[i],a[last]);
        last = i;
    }
    res+=dis(a[last],a[first]);
    printf("%.2lf",res);
    return 0;
}

能学习的地方。

stk[++top]={1};
stk[++top]={2};
used[1]=used[2]=1;
fo(i,3,n){
    Vector C = a[i];    
    while(top>1){// 凸包集合中至少要有一个点。
        Vector B = a[stk[top]];
        Vector A = a[stk[top-1]]; 
        if(cross(C.xx-A.xx,C.yy-A.yy,B.xx-A.xx,B.yy-A.yy) < 0){
            used[top]=false;
            top--;
        }
    }
    stk[++top]=i;
    used[i]=true;
    break;
}
----------------------------------------------
y总的写法：
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        while (top >= 2 && area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) <= 0)
        {
            // 凸包边界上的点即使被从栈中删掉，也不能删掉used上的标记
            if (area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) < 0)
                used[stk[top -- ]] = false;
            else top -- ;
        }
        stk[ ++ top] = i;
        used[i] = true;
    }

学到的地方：当前几个可以直接加入，但是需要用while循环特判的时候，可以参考y总的，把所有代码都放到for循环里边，while再加一个判断。

    used[0] = false;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
    {
        if (used[i]) continue;
        while (top >= 2 && area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) <= 0)
            top -- ;
        stk[ ++ top] = i;
    }

需要用第1个加入的点重新更新整个凸包，非常巧的使用 used[0] = 0;

这样，stk中会出现两次 0 号点，最后stk[top] 一定等于 0 ，刚好便于计算周长。

    double res = 0;
    for (int i = 2; i <= top; i ++ )
        res += get_dist(q[stk[i - 1]], q[stk[i]]);
    return res;

计算几何模板
double get_dist(PDD a, PDD b)
{
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
double cross(PDD a, PDD b)
{
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
// a->b 向量和 a->c 向量求叉积。
double area(PDD a, PDD b, PDD c)
{
    return cross(b - a, c - a);// 先重载两个点相减
}

参考大佬的代码

可以通过acwing和luogu（目测无bug），不需要特判共线的问题
样例：
    2
    0 0 
    0 1
输出：
    2

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 10010;

int n;
PDD q[N];
int stk[N];

double get_dist(PDD a, PDD b)
{
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

PDD operator-(PDD a, PDD b)
{
    return {a.x - b.x, a.y - b.y};
}

double cross(PDD a, PDD b)
{
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

double area(PDD a, PDD b, PDD c)
{
    return cross(b - a, c - a);
}

double andrew()
{
    sort(q, q + n);
    int top = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        while (top >= 2 && area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) <= 0)
            top -- ;
        stk[ ++ top] = i;
    }
    int k = top;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
    {
        // 不希望删去求上凸包时，最右边的那个点 , 依然可以让求下凸包的时候左边的第一个点再次加入stk中。
        while (top > k && area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) <= 0)
            top -- ;
        stk[ ++ top] = i;
    }

    double res = 0;
    for (int i = 2; i <= top; i ++ )
        res += get_dist(q[stk[i - 1]], q[stk[i]]);
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%lf%lf", &q[i].x, &q[i].y);
    double res = andrew();
    printf("%.2lf\n", res);

    return 0;
}

信用卡凸包

~~旋转的bug我找了好久qwq~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<double,double>PDD;
#define xx first
#define yy second
#define pi acos(-1)
const int N = 1e5+10;

int n,stk[N],top,idx;
double a,b,r;
PDD A[N];// 将一个矩形方块变成四个角。

double dis(PDD a,PDD b){
    double dx = a.xx-b.xx;
    double dy = a.yy-b.yy;
    return sqrt(dx*dx+dy*dy);
}

PDD operator - (PDD a,PDD b){
    return {a.xx-b.xx,a.yy-b.yy};
}

double cross(double x1,double y1,double x2,double y2){
    return x1*y2-x2*y1;
}

double area(PDD a,PDD b,PDD c){
    return cross(b.xx-a.xx,b.yy-a.yy,c.xx-a.xx,c.yy-a.yy);
}

double get(){
    sort(A+1,A+idx+1);
    double res=0;
    for(int i=1;i<=idx;i++){//idx个点
        while(top>=2 && area(A[stk[top-1]], A[stk[top]], A[i])<=0){
            top--;
        }
        stk[++top]=i;
    }
    int k = top;
    for(int i=idx;i>=1;i--){
        while(top>k && area(A[stk[top-1]], A[stk[top]], A[i]) <=0){
            top--;
        }
        stk[++top]=i;
    }
    for(int i=2;i<=top;i++){
        res+=dis(A[stk[i]],A[stk[i-1]]);
    }
    return res;
}

PDD rotate(double x,double y,double theta){
    double X = x*cos(theta)+y*sin(theta);
    double Y = -x*sin(theta)+y*cos(theta);
    return {X,Y};
}

int main(){
    cin>>n>>a>>b>>r;
    /*
    错误的写法，但是很难看出bug
    原来中点(x,y)，先不旋转， 右上角是 (x+b/2-r,y+a/2-r)
    所以旋转向量是(b/2-r,a/2-r) , 但是不能用这个向量替代转四次。 因为长方形对角线夹角不一定是45度。
    假设旋转 theta 角， 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        double x,y,theta;
        cin>>x>>y>>theta;
        // 转角公式？
        PDD t = rotate((b/2)-r,(a/2)-r,-theta);
        A[++idx] = {x + t.xx, y + t.yy};
        A[++idx] = {x + t.xx, y - t.yy};
        A[++idx] = {x - t.xx, y + t.yy};
        A[++idx] = {x - t.xx, y - t.yy};
    }
    */
    int dx[]={1,1,-1,-1};
    int dy[]={1,-1,1,-1};
    for(int i=1;i<=n;i++){
        double x,y,theta;
        cin>>x>>y>>theta;
        // 转角公式？
        for(int j=0;j<4;j++){
            // 这个bug好难
            PDD t = rotate(dx[j]*((b/2)-r),dy[j]*((a/2)-r),-theta);
            A[++idx] = {x + t.xx, y + t.yy};    
        }
    }
    // cout<<idx<<endl;
    // for(int i=1;i<=idx;i++){
    //     cout<<i<<" "<<A[i].xx<<" "<<A[i].yy<<endl;
    // }
    // return 0;
    double res= get();
    printf("%.2lf",res + 2*pi*r);
    return 0;
}