再探组合计数和容斥原理

组合计数和容斥原理

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Q1: 推导错位排列。

错位排列： $1\sim n，n个数每个数都不在原位的排列的数量$

集合的角度思考问题，先使用暴力打表的办法， 得到 $f(4)=9$ , 经过观察，可以得到 $f(n)=n-1\times ?$

分类讨论下一个位置怎么填，

对于 2 1 4 3 填完2之后，是在 $2,3,4$ 三个位置填 $1,3,4$ 规律不显然，如果我们扩展一下，把 $n$ 变大 , 假设 $n=8$ 。

1 2 3 4 5 6 7 8
2 ? ? ? ? ? ? ?
  1 3 4 5 6 7 8
1.考虑第一个位置不同的数，第二个数如果就是填2的话，那么问题变成了3~8的错位排列,f(n-2)
2.如果第2个位置不填1，可以把第2个位置就看成第一个位置（两个问题是等价的），问题转换成了f(n-1)。

综上有错位排列公式：
$$\begin{gathered} f(n)=(n-1)\ast [f(n-1)+f(n-2)] \\ f(0)=1 \end{gathered}$$

1 0  
2 1
3 2
4 9
5 44
6 265
7 1854
8 14833
9 133496
10 1334961
11 14684570
12 176214841

2 1 4 3
2 3 4 1
2 4 1 3

3 1 4 2
3 4 1 2
3 4 2 1

4 1 2 3
4 3 1 2
4 3 2 1

2 1 4 5 3
2 1 5 3 4
2 3 1 5 4
2 3 4 5 1
2 3 5 1 4
2 4 1 5 3
2 4 5 1 3
2 4 5 3 1
2 5 1 3 4
2 5 4 1 3
2 5 4 3 1

3 1 2 5 4
3 1 4 5 2
3 1 5 2 4
3 4 1 5 2
3 4 2 5 1
3 4 5 1 2
3 4 5 2 1
3 5 1 2 4
3 5 2 1 4
3 5 4 1 2
3 5 4 2 1

4 1 2 5 3
4 1 5 2 3
4 1 5 3 2
4 3 1 5 2
4 3 2 5 1
4 3 5 1 2
4 3 5 2 1
4 5 1 2 3
4 5 1 3 2
4 5 2 1 3
4 5 2 3 1

5 1 2 3 4
5 1 4 2 3
5 1 4 3 2
5 3 1 2 4
5 3 2 1 4
5 3 4 1 2
5 3 4 2 1
5 4 1 2 3
5 4 1 3 2
5 4 2 1 3
5 4 2 3 1

容斥原理

求解不规则集合的个数，化并为交（求并集很多情况比求交要困难）。
$$\mid \bigcup _{i=1}^n{A}_i\mid =\sum _{\varphi \ne I\subset \mid n\mid }(-1{)}^{\mid I\mid +1}\mid \bigcap _{i\in I}{A}_i\mid$$
$(-1{)}^{\mid I\mid +1}=1\to \mid I\mid \in 1,3,7,...$

$(-1{)}^{\mid I\mid +1}=-1\to \mid I\mid \in 2,4,6,...$

考虑使用容斥原理推导欧拉函数

集合和并是具有非常一般的结构

$\varphi (n)是1,2,3,..n中有n互质的数的个数。$

法一：非常直观的思路就是使用for循环打表枚举。

法二：容斥原理能够实现将一些不规则的集合的并转成集合的交来求解。

原问题可以转成 $n-1,2,3,...,n中与n不互质的数的个数$

假设我们要求 $\varphi (5\ast 7\ast 13^2)$ , 很明显$5,7,13$ 是 $n$ 的质因子，他们各自的倍数一定是与 $n$ 不互质的。

所以有:

${\alpha }_1:5,10,15,...,n$

${\alpha }_2:7,14,21,...,n$

${\alpha }_3:13,26,39,...,n$

那么 $1,2,3,...,n$ 中与n不互质的数的个数也就变成了 $\mid {\alpha }_1\cup {\alpha }_2\cup {\alpha }_3\mid$

将上边的式子使用容斥原理展开，整理，有。
$$\varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d)\cdot \frac{n}{d}$$
$\mu (n)=(-1^k)(n是k个素数的乘积)莫比乌斯函数$

数学的魅力，容斥原理之所以是原理

容斥原理：偏序集上Mobius反演在Boolean Lattice上的应用(1964)
$$g(A)=\sum _{s\subseteq A}f(S)\to f(A)=\sum _{s\subseteq A}\mu (A-S)g(S)$$
参考资料jyy组合数学