学树状数组？这篇就够（入门）了！

学树状数组？这篇就够（入门）了！

有一天，小明给了我三个问题其实是我自己出的啦

(1)
有一个机器，支持两种操作，在区间[1,10000]上进行。
操作$\mathrm{A}$:把位置$\mathrm{x}$的值+$\mathrm{k}$
操作$\mathrm{B}$:询问区间$[\mathrm{l},\mathrm{r}]$所有数字之和
区间的初始值全部为$0$
现在你要充当这个机器，操作$\mathrm{A}$和操作$\mathrm{B}$会被穿插着安排给你，
要求对于所有操作$\mathrm{B}$，给出正确的答案。
怎样做才能最节省精力？

(2)
有一个机器，支持两种操作，在区间$[1,10000]$上进行。
操作$\mathrm{A}$:把区间$[l,r]$的值全都+$\mathrm{x}$
操作$\mathrm{B}$:询问$\mathrm{x}$位置的值。
区间的初始值全部为$0$
现在你要充当这个机器，操作$\mathrm{A}$和操作$\mathrm{B}$会被穿插着安排给你，
要求对于所有操作$\mathrm{B}$，给出正确的答案。
怎样做才能最节省精力？

三个问题中操作的数量都可以认为是10000这个数量级

你可以动用的工具有:无限墨水的笔，一张足够大的纸，你的大脑(没多大内存的~)。

注意:

1. 举个例子，进行这种类似的操作:
   从一行任意打乱的数字中找一个数字
   不能认为一瞬间就可以找到，在这里所花费的精力和数字的总数具有线性关系。
2. 我们认为将数据转换为二进制不需要任何时间。

对于问题$1$，如果我们每种操作都暴力进行，
那么显然总的时间复杂度为$\mathrm{O}(\mathrm{m}\mathrm{A}+\mathrm{n}\ast \mathrm{m}\mathrm{B})$,$\mathrm{n}$表示区间长度，
$\mathrm{m}\mathrm{A}$表示操作$\mathrm{A}$执行的次数，$\mathrm{m}\mathrm{B}$表示操作$\mathrm{B}$执行的次数。
那么有没有一种更加轻松的办法呢？
我们将引入一种数据结构，叫做树状数组。

在介绍树状数组之前，需要先介绍一下二进制的按位运算，这里只需要用到两种:

按位与运算,符号&: 两个数字都为1时，得1，否则得0.

那么$1$&$1$$=$$1$,$0$&$1$$=$$0$,$1$&$0$$=$$0$,$0$&$0$$=$$0$

$3$&$11$的值是多少呢？我们把它化成二进制

两个数字分别为$0011$和$1011$，然后对应的，每位之间进行与运算

$0011$
& $1011$
$——————$
$0011$

所以答案是$0011$，即十进制的$3$。

接下来再介绍一下按位非运算，符号~，运算方法是0变1,1变0

比如 ~ $9$的值，就是~ $1001$(二进制),得到$0110$。

那么按位运算就说完了。

最后为了方便理解后面的内容，还得介绍一个计算机的特点。

在计算机中，我们操作的变量通常都有一个固定的位数，

比如$\mathrm{c}$++中 $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$32$_$\mathrm{t}$ 类型的变量，它用$32$位的二进制数来存储一个整数。

在这个范围下，

~$1$ =~$00000000000000000000000000000001$=$11111111111111111111111111111110$

另外，$\mathrm{n}$位的二进制数进行运算，一旦向第$\mathrm{n}$+$1$位有进位，会直接舍去这个进位，

如四位二进制数$1111$+$0001$,答案是$0000$而不是$10000$。

有了这么多铺垫，要开始正题啦~

现在就要介绍一个非常神奇的函数，它叫做lowbit。

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{x})$=$\mathrm{x}$&$(($~$\mathrm{x})$+$1)$(为了少引入补码的概念，我们这里稍微麻烦了一下，其实$\mathrm{x}$&-$\mathrm{x}$就行)

它的作用是什么呢？

它只保留"从低位向高位数，第一个数字1"作为运算结果

比如二进制数$00011100$,结果就是$00000100$，也就是$4$。

$11111001$，结果就是$00000001$，也就是$1$

不信的话可以验证一下。

那么这种运算对我们的算法有什么帮助呢？

首先我们来解决一下问题1。

先列举出从1~32的lowbit，

$1214121812141211612141218121412132$

我们让第$\mathrm{i}$个位置管理$[\mathrm{i}-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{i})+1,\mathrm{i}]$这一段区间，示意图如下：

怎么看每个数字管理多少？

只要顺着数字往下画竖线，碰到的第一根横线所覆盖的范围就是它能管理的范围。

我们每次执行操作$\mathrm{A}$（把位置$\mathrm{x}$的值+$\mathrm{k}$），只需要把"能管理到$\mathrm{x}$的所有位置"都+$\mathrm{k}$就行

那么怎样快速找到哪些位置能管理到x呢？

答案还是$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$

我们先更新$\mathrm{x}$，然后把$\mathrm{x}$赋给一个新值，$\mathrm{x}+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{x})$，那么新值依然可以管理到$\mathrm{x}$ ，这样依次类推直到

$\mathrm{x}$>$10000$即可。

比如$\mathrm{x}=2$,那么首先把$2$的值$+\mathrm{k}$，这不用说。

然后$\mathrm{x}$的新值=$\mathrm{x}$+$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{x})$=$2$+$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(2)$=$4$，对着上面的示意图看看，会发现$4$确实能管理到$2$，那么把$4$的位置+$\mathrm{k}$

然后再来一遍,$\mathrm{x}$=$4$+$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(4)=8$，发现$8$还是能管理到$2$，继续给$8$这个位置$+\mathrm{k}$，就这样依次类推下去

直到x$=16384$时，超过10000了，操作完成。

这样操作之后，树状数组里每一位当前存的值可能并不是该位置的实际值，为了方便区分，在下文中我们把实际值叫做"原数组的值"，当前值就叫做"树状数组的值"。

可以证明，对于任意一个$\mathrm{x}$属于[1,10000]我们最多进行$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}$$(2,10000)$次操作，就可以完成操作A

那么把操作A变复杂,从$\mathrm{O}(1)$变到$\mathrm{O}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n})$能换来什么好处？

答案就是，可以把操作$\mathrm{B}$的时间复杂度降低成$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}$级别的

询问区间$[\mathrm{L},\mathrm{R}]$的和$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(\mathrm{L},\mathrm{R})$。我们只需要求出$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,\mathrm{R})$和$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,\mathrm{L}-1)$,

然后$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,\mathrm{R})$-$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,\mathrm{L}-1)$就是$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(\mathrm{L},\mathrm{R})$了

那么对于任意的$\mathrm{x}$，$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,\mathrm{x})$怎么求呢？

我们把最终得到的答案存在$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}$变量中，执行下面的操作:

（1）$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}$初始化为$0$

（2）$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}$加上$\mathrm{x}$位置的值

（3）给$\mathrm{x}$赋予新值 $\mathrm{x}$-$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{x})$

（4）如果$\mathrm{x}>0$则跳回操作$(2)$，否则结束算法。

举个例子介绍一下:

一开始我们还是停留在树状数组第$\mathrm{x}$位置上(比如$\mathrm{x}$= $6$吧),答案一开始为$0$。

还记得吗，我们在进行"给原数组第$\mathrm{x}$位置的数增加k"这个操作时，把"能管理到$\mathrm{x}$的所有位置"都增加了k。

那么，对于任意一个位置，树状数组里的值就是"它能管理到的所有位置上，原数组的值之和"。

因此我们给答案加上树状数组第$\mathrm{x}$位置的值，这里就得到了$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(5,6)$，因为$6$能管理$[5,6]$

然后给$\mathrm{x}$减去$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{x})$，得到$4$。再加上$\mathrm{x}$位置的值，也就是$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,4)$，因为$4$能管理$[1,4]$

再让$\mathrm{x}$=$\mathrm{x}$-$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{x})$,得到0，由于不再大于0，算法终止，得到答案。

这时答案恰好是$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,6)$，哈哈~

依然可以证明，最多只需要进行$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}$级别次数的查询。

这样我们进行操作B的时间复杂度也是$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}$级别了。

至此，树状数组就说完了，问题1也成功得到解决，时间复杂度$\mathrm{O}((\mathrm{m}\mathrm{A}+\mathrm{m}\mathrm{B})\ast \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n})$。

在$10000$这个数量级下明显比之前的$\mathrm{O}(\mathrm{m}\mathrm{A}+(\mathrm{m}\mathrm{B}\ast \mathrm{n}))$小得多。

而且，位运算的常数非常小，因此整个算法执行速度会很快。

问题2怎么办？用差分的方法，区间$[\mathrm{l},\mathrm{r}]$所有值+$\mathrm{k}$改成"位置$\mathrm{l}$加上$\mathrm{k}$，位置$\mathrm{r}$+$1$减去k"

查询的时候直接查询$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}(1,\mathrm{x})$就行，不理解的话可以自己构造一组数据尝试一下。

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注：本篇博客选自《树状数组详细讲解，不会算法也能看懂哦~》，有删减，已经过优快云的优化处理