(转)深入详细理解矩阵 (矩阵的加减乘、转置、共轭、共轭转置)

本文深入讲解了矩阵的基本概念,包括矩阵的加法、减法、乘法、转置及共轭转置等运算规则,强调矩阵在线性代数中的核心地位,是理解数学逻辑和数据科学的关键。

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矩阵:英文名Matrix。在数学名词中,矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。矩阵是数学中最重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究及应用的一个重要工具。
矩阵加法:(只有同型矩阵之间才可以进行加法)
在这里插入图片描述
矩阵的加法满足下列运算律(A,B,C都是同型矩阵):
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矩阵减法:(只有同型矩阵之间才可以进行减法)
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矩阵乘法:
矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。
C = AB
将A, B, C分成相等大小的方块矩阵:
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示例:
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矩阵的转置:
把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵,这一过程称为矩阵的转置。
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矩阵的转置满足以下运算律:
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矩阵的共轭:
矩阵的共轭定义为: 在这里插入图片描述
一个2×2复数矩阵的共轭如下所示 [12] :
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矩阵的共轭转置:
  矩阵的共轭转置定义为: 在这里插入图片描述
也可以写为: 在这里插入图片描述
一个2×2复数矩阵的共轭如下所示:
在这里插入图片描述

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### 计算矩阵与其共轭转置积 在处理复数矩阵时,通常会遇到需要计算某个矩阵 \( A \) 和其共轭转置 \( A^H \)积的情况。这种操作不仅限于理论研究,在实际应用中也十分常见。 对于任意给定的一个复杂矩阵 \( A_{m\times n} \),其共轭转置记作 \( A^H \),其中 \( H \) 表示 Hermitian 转置。具体来说,\( (A^H)_{ij}=\overline{(A)}_{ji} \)[^1]。这里 \( \overline{()} \) 符号代表取复共轭。 当执行这样的法运算时,即求解 \( AA^H \) 或者 \( A^HA \),实际上是在构建一个新的方阵,该过程遵循标准的矩阵法则: - 如果是 \( AA^H \),则得到的是一个大小为 \( m×m \) 的方阵; - 若选择 \( A^HA \),那么结果将是尺寸为 \( n×n \) 的方阵; 下面给出 Python 中使用 NumPy 库实现这一功能的例子: ```python import numpy as np def multiply_with_conjugate_transpose(A): """ Function to compute the product of a matrix with its conjugate transpose. Parameters: A : array_like Input complex matrix. Returns: result_matrix : ndarray The resulting square matrix after multiplying input matrix by its conjugate transpose. """ # Compute the conjugate transpose of A AH = np.conj(A).T # Perform matrix multiplication between original matrix and its conjugate transpose result_matrix = np.dot(A, AH) return result_matrix # Example usage: A = np.array([[1+2j, 3+4j], [5+6j, 7+8j]]) result = multiply_with_conjugate_transpose(A) print(result) ``` 此代码片段展示了如何创建函数 `multiply_with_conjugate_transpose` 来接收一个复杂的输入矩阵并返回它与自己共轭转置后的积。通过调用这个函数可以轻松完成此类线性代数中的重要运算。
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