51nod 巨大的斐波那契数列（矩阵快速幂），递推式优化的好模板！！！！！！！

最新推荐文章于 2025-06-01 00:01:08 发布

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分类专栏：快速幂 51nod

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快速幂

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂算法高效计算斐波那契数列第n项的方法，该方法适用于大整数计算场景，避免了传统递归方式的效率瓶颈。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000009的结果即可。

Input

输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。

Output

输出F(n) % 1000000009的结果。

Input示例

Output示例

著作权归作者所有。
商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
作者：王希
链接：http://www.zhihu.com/question/23582123/answer/40464211
来源：知乎

矩阵递推关系

学过代数的人可以看出，下面这个式子是成立的：
&lt;img src="https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/202c202d7ff7b6e11c1b3436fd789ad5.png" data-rawwidth="284" data-rawheight="69" class="content_image" width="284"&gt;不停地利用这个式子迭代右边的列向量，会得到下面的式子：

不停地利用这个式子迭代右边的列向量，会得到下面的式子：
&lt;img src="https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/4f08da760eb450bde73ad90c04d98f30.png" data-rawwidth="270" data-rawheight="70" class="content_image" width="270"&gt;这样，问题就转化为如何计算这个矩阵的n次方了，可以采用快速幂的方法。

这样，问题就转化为如何计算这个矩阵的n次方了，可以采用快速幂的方法。快速幂_百度百科是利用结合律快速计算幂次的方法。比如我要计算 $2^{20}$ ，我们知道 $2^{20} = 2^{16} * 2^{4}$ ，而 $2^{2}$ 可以通过 $2^{1} \times 2^{1}$ 来计算， $2^{4}$ 而可以通过 $2^{2}\times 2^{2}$ 计算，以此类推。通过这种方法，可以在O（lbn）的时间里计算出一个数的n次幂。快速幂的代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MOD 1000000009
#define N 2
using namespace std;

struct Matrix 
{
	long long v[N][N];
};

Matrix matrix_mul(Matrix A, Matrix B, long long m)
{
	Matrix ans;

	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
		{
			ans.v[i][j] = 0;
			for (int k = 0; k < N; k ++)
			{
				ans.v[i][j] += (A.v[i][k] * B.v[k][j]) % m;
			}
			ans.v[i][j] %= m;
		}
	}
	return ans;
}

Matrix matrix_pow(Matrix C, long long n, long long m)
{
	Matrix ans = {1, 0, 0, 1};
	while (n)
	{
		if (n & 1)
			ans = matrix_mul(ans, C, m);
		C = matrix_mul(C, C, m);
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	long long n;
	Matrix temp1 = {1, 1, 1, 0}, temp2 = {1, 0, 1, 0}; // temp2{f[2],0,f[1],0}!!!!!
	while (cin >> n)
	{
		if (n < 2)
		{
			cout << 1 << endl;
			continue;
		}
		Matrix res = matrix_pow(temp1, n - 2, MOD);
		res = matrix_mul(res, temp2, MOD);
		cout << res.v[0][0] << endl;
	}
	return 0;
}