36、双覆盖：参数化算法中的强大参数

双覆盖：参数化算法中的强大参数

1. 预着色扩展问题

预着色扩展问题是一个自然的图论问题，给定图 $G$ 的部分恰当着色，任务是将其扩展为使用 $r$ 种颜色对图 $G$ 的恰当着色。与公平着色类似，该问题在有界树宽的图上是 $W[1]$ - 困难的，而在有界顶点覆盖的图上是固定参数可解（FPT）的。但由于有界双覆盖的图可能包含大团，不能直接应用针对有界顶点覆盖图的算法，需要一些技巧来获得 FPT 算法。

定理 ：预着色扩展问题在双覆盖至多为 $k$ 的图上可以在 $2^{O(k^32^k)} \cdot |V|$ 时间内解决。

证明步骤 ：
1. 处理同类型顶点 ：两个非覆盖顶点若与覆盖中的相同顶点相邻，则它们具有相同类型。同一类型 $T_i$ 中的顶点被组织成不同大小的团，部分顶点已预着色。将孤立顶点视为大小为 1 的团。对于某类型中至少有一个顶点预着色的颜色，该颜色不会出现在与该类型相邻的覆盖顶点中。因此，在该类型的每个团的未预着色顶点中尽可能多地使用这些颜色，可将预着色扩展为使同一类型的所有团都用相同颜色预着色，较小的团可能用这些颜色的子集完全预着色。此时，团仅在未预着色顶点的数量上有所不同。由于它们的预着色匹配，最优解中最大团的着色可以直接复制到同一类型的较小或相等的团上。若某类型中还有未着色的顶点，可删除除一个最大团之外的所有团，此操作可在 $O(|V|)$ 时间内完成。
2. 划分颜色类型 ：尽管颜色数量 $r$ 可能很大，但根据颜色预着色的类型集合将所有颜色划分为颜色类型（此外，最多 $k$ 种