29、固定参数可解子图问题的紧密复杂度界限

固定参数可解子图问题的紧密复杂度界限

在图论和算法设计领域，子图问题一直是研究的重点。许多实际问题都可以转化为子图问题，例如社交网络分析、电路设计等。本文将探讨一些双参数化子图问题的复杂度界限，特别是当输入图的团宽度（clique-width）作为其中一个参数时的情况。

1. 相关命题与推论

• 命题 2 ：$k × k$ 团问题不能在 $2^{o(k \log k)} · n^{O(1)}$ 时间内解决，其中 $n$ 是输入图 $G$ 的顶点数，除非指数时间假设（ETH）不成立。
• 推论 1 ：红蓝电容支配集（Red - Blue CDS）和红蓝精确饱和电容支配集（Red - Blue Exact Saturated CDS）问题不能在 $2^{o(w \log n)} · n^{O(1)}$ 时间内解决，其中 $n$ 是输入图 $G$ 的顶点数，$w$ 是关联图 $I(G)$ 的团宽度，除非 ETH 不成立，即使给定 $I(G)$ 的宽度为 $w$ 的表达式树。

2. 稀疏和稠密 $k$ 子图问题

2.1 定理 1

稀疏 $k$ 子图问题在给定宽度为 $w$ 的表达式树的情况下，对于团宽度至多为 $w$ 的 $n$ 顶点图，可以在 $k^{O(w)} · n$ 时间内解决，但不能在 $2^{o(w \log k)} · n^{O(1)}$ 时间内解决，除非 ETH 不成立，即使给定宽度为 $w$ 的表达式树。

由于稀疏 $k$ 子图和稠密 $k$ 子图是对偶问题，即稀疏 $k$ 子图问题等