18、数学背景知识详解

数学背景知识详解

1. 协方差矩阵的确定

在相关模型中，我们需要确定一些关键的协方差矩阵。首先，对于向量 $\mathbf{b}$ 的协方差矩阵 $\psi_{\theta}$ 如下：
$$\psi_{\theta} =
\begin{bmatrix}
\sum_{\theta}^{\text{subject}} & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & \sum_{\theta}^{\text{subject}} & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & \sum_{\theta}^{\text{subject}} & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & \sum_{\theta}^{\text{subject}} & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & \sum_{\theta}^{\text{item}}
\end{bmatrix}$$

为了确保观测值之间的独立性，我们在模型中引入了随机效应，进而得到误差分量 $\epsilon$ 的协方差矩阵 $\Delta_{\theta}$：
$$\Delta_{\theta} = \sigma^2_{\text{error}}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots &