11、最小生成器简洁系统：理论、局限与新定义

最小生成器简洁系统：理论、局限与新定义

1. 最小生成器相关理论基础

1.1 子集性质推导

在最小生成器（MG）的研究中，根据相关定义和命题，可推导出每个子集的性质。若(g_2 \prec g_1)，且(g_2 \cap (g \setminus g_1) = \varnothing)以及(g_1 \cap (g \setminus g_1) = \varnothing)，则(g_3 \prec g)。若(g_3)是一个MG，这与(g)是代表性MG的初始假设矛盾；若(g_3)不是MG，则存在一个MG (g_4)，使得(g_4 \subset g_3)且(g_4’’ = g_3’‘)，又因为(\text{Card}(g_4) < \text{Card}(g_3))，所以(g_4 \prec g_3)，进而(g_4 \prec g)，这也与初始假设矛盾。因此，可以得出(g)的每个子集必然是代表性MG。

1.2 简洁性的反单调约束

命题4表明，最小生成器的简洁性是一种反单调约束。对于一个项集(g)，有以下两个性质：
1. 若(g \in \text{MG} {\text{suc}K})，则对于所有(g_1 \subset g)，有(g_1 \in \text{MG} {\text{suc}K})。
- 证明：(g \in \text{MG} {\text{suc}K} \Rightarrow \forall g_1 \text{ s.t. } g_1 \subset g, g_1 \in \text{MG} {\text{rep}f_1})（根据定义6），又因为(\text{MG} {\text