13、未知源的区域检测

未知源的区域检测

1. 引言

近年来，环境问题尤其是污染问题受到了越来越多的关注。若污染源未知，污染的危害可能会加剧。污染源可根据其性质（点源、区域源、边界源、固定源或移动源）、强度和持续时间等多个参数来表征。本文将源视为未知控制，通过有限数量的传感器对其进行观测和检测，研究黎曼 - 刘维尔型和卡普托型时间分数阶扩散系统中未知源的区域检测问题，所得结果可看作是对以往工作的扩展。

2. 预备知识

2.1 源的定义

设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的开有界子集。一个源 $S$ 由三元组 $(\Sigma, g, I)$ 表征：
- $\Sigma(\cdot) : t \in I \to \Sigma(t) \subseteq \Omega$ 表示源的支撑集，它可能随时间 $t$ 变化；
- $g(t, \cdot) : \xi \in \Sigma(t) \to g(t, \xi)$ 定义了在时间 $t$ 时 $\xi$ 处源的强度；
- $I = {t : g(t, \cdot) \neq 0 \text{ on } \Sigma(t)}$ 表示 $g$ 的支撑集，代表源 $S$ 的持续时间，通常假设 $I := [0, b]$。

如果 $I$ 是几个区间的并集，则称所研究的系统由连续源激发。通过扩展 $\Sigma$ 和 $g$，可使 $(\Sigma, g, I)$ 在整个 $I$ 上有良好定义。

源 $S$ 若其支撑集 $\Sigma(t)$ 在 $I$ 内的所有 $t$ 时刻都缩减为 $\Omeg