20、算法解析：动态规划、回溯与协同过滤的应用

算法解析：动态规划、回溯与协同过滤的应用

1. 动态规划概述

动态规划是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解为更小的子问题，并为这些子问题找到解决方案，然后积累子问题的解决方案以找到全局解决方案。其优点是通过存储子问题的结果来减少重复计算。动态规划常用于优化问题，在编程领域应用广泛，可解决诸如硬币找零、寻找最长公共子序列、寻找最长递增序列、DNA 字符串排序等问题。与贪心算法的核心区别在于，动态规划总是倾向于全局最优解。

能使用动态规划解决的问题需具备最优子结构或重叠子问题。最优子结构指实际问题的优化可以通过其子问题的最优解组合来解决；重叠子问题表示较小的子问题会因为相互重叠而被反复求解，斐波那契数列就是重叠子问题的典型例子。动态规划通过自顶向下或自底向上的方法来解决每个子问题，且只解决一次。
- 自顶向下方法 ：从较大的问题开始，递归地解决较小的子问题，需使用记忆化技术存储子问题的结果，避免未来重新计算。
- 自底向上方法 ：先解决最小的子问题，然后逐步解决其他较小的子问题，通常使用多维数组以表格形式存储子问题的结果。

2. 0 - 1 背包问题

2.1 问题描述

背包是一种带有背带的袋子，士兵通常用它来携带必要物品或贵重物品。每个物品都有其价值和确定的重量，士兵需要在最大重量限制内挑选最有价值的物品，且每个物品只能要么拿走，要么留下，不能部分拿走，这就是著名的 0 - 1 背包问题。

2.2 解决方案

采用自底向上的方法解决 0 - 1 背包问题，以下是伪代码：